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Yvon Gauthier 王 PUL Logique arithmétique L’arithmétisation de la logique DU MÊM

Yvon Gauthier 王 PUL Logique arithmétique L’arithmétisation de la logique DU MÊME AUTEUR L’arc et le cercle. L’essence du langage chez Hegel et Hölderlin, Desclée de Brouwer et Bellarmin, Paris et Montréal, 1969. Fondements des mathématiques. Introduction à une philosophie constructiviste, Presses de l’Université de Montréal, Montréal, 1976. Méthodes et concepts de la logique formelle, Presses de l’Université de Montréal, Montréal, 1978, 2e éd., revue, corrigée et augmentée, 1981. Théorétiques. Pour une philosophie constructiviste des sciences, Le Préambule, Longueuil, 1982. De la logique interne, Vrin, Paris, 1991. La logique interne des théories physiques, Vrin et Bellarmin, Paris et Montréal, 1992. La philosophie des sciences. Une introduction critique, Presses de l’Université de Montréal, Montréal, 1995. Logique et fondements des mathématiques, Diderot, Paris, 1997, 2e édition, 2000. Logique interne. Modèles et applications, Diderot et Modulo, Paris et Montréal, 1997. Internal Logic. Foundations of Mathematics from Kronecker to Hilbert, Kluwer, “Synthese Library”, Dordrecht, Boston et London, 2002. La logique du contenu. Sur la logique interne, L’Harmattan, Paris, 2004. Entre science et culture. Introduction à la philosophie des sciences, Presses de l’Université de Montréal, Montréal, 2005. Logique arithmétique Cette collection accueillera des ouvrages consacrés à la logique et à la philosophie des sciences entendues dans leur sens formel. La logique de la science, un titre emprunté au philosophe américain C.S. Peirce, rend compte de la logique interne du savoir qui peut se décliner en plusieurs versions et il est légitime de parler de logiques au pluriel comme on par- le de sciences au pluriel. L’éventail des recherches pourra s’ouvrir pour inviter des analyses portant sur l’intersection et l’héritage commun des traditions philosophiques et scientifiques. Enfin, les travaux d’épistémo- logie générale ou historique dans les sciences sociales et humaines ne sauraient être exclus dans cet esprit d’ouverture qui doit caractériser l’idée d’une logique interne du discours scientifique. Si le principe de tolérance invoqué par le logicien et philosophe des sciences R. Carnap doit présider à une telle entreprise, c’est pour mieux assurer le rôle de la philosophie comme vigile du savoir. Le symbole utilisé pour représenter la collection signifie la quantifica- tion « effinie » ou illimitée de la logique arithmétique et il est tiré de l’idéogramme pour « wang », roi en langue chinoise. Yvon Gauthier 王王 YVON GAUTHIER Logique arithmétique L’arithmétisation de la logique Les Presses de l’Université Laval reçoivent chaque année du Conseil des Arts du Canada et de la Société d’aide au développement des entreprises culturelles du Québec une aide financière pour l’ensemble de leur programme de publication. Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise de son Pro- gramme d’aide au développement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édi- tion. Maquette de couverture : Hélène Saillant ISBN 978-2-7637-8997-2 © Les Presses de l’Université Laval 2010 Tous droits réservés. Imprimé au Canada Dépôt légal 3e trimestre 2010 Les Presses de l’Université Laval Pavillon Maurice-Pollack 2305, rue de l’Université, bureau 3103 Québec (Québec) G1V 0A6 CANADA www.pulaval.com À la mémoire de mes parents, Blanche et Armand Remerciements Cet ouvrage a été publié grâce à une subvention de la Fédération canadienne des sciences humaines, de concert avec le programme d’aide à l’édition savante (PAES), dont les fonds proviennent du Conseil de recherche en sciences humai- nes du Canada. Table des matières Avant-propos 1 Introduction. Logicisme 9 1 L’arithmétisation de l’analyse 15 1.1 Cauchy et Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Dedekind et Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Frege, Russell et Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 L’arithmétique de Frege . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Le logicisme de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.3 Le Formulaire de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 L’arithmétisation de l’algèbre 37 2.1 Le contenu polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 La postérité du programme de Kronecker . . . . . . . . . . . . 42 2.3 L’élimination des quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 L’arithmétisation de la logique 51 3.1 L’arithmétisation de la logique et le calcul epsilon . . . . . . . 54 3.2 Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 De Hilbert à Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6 L’arithmétisation de la syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6.1 Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6.2 Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7 L’arithmétisation de la métamathématique . . . . . . . . . . . 93 3.8 Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 vii Table des matières viii Logique arithmétique 3.9 Conclusion. Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4 L’arithmétisation du langage 101 4.1 La théorie des modèles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Des fragments de l’arithmétique à la logique prédicative . . . . 106 4.2.1 La hiérarchie arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 L’arithmétique bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2.4 Arithmétique constructive . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2.5 Arithmétique bornée et logique prédicative . . . . . . . 118 4.3 Les bornes de l’omniscience logique . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5 Conclusion. Arithmétisme 125 A La descente inﬁnie 133 A.1 L’intuitionnisme et le tiers exclu . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.2 Principes d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 A.3 La logique intuitionniste et l’induction transﬁnie . . . . . . . . 143 A.4 Épilogue philosophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 B La consistance interne 153 B.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 B.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 B.3 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/logique-de-la-science-yvon-gauthier-logique-arithmetique-l-x27-arithmetisation-de-la-logique-presses-de-l-x27-universite-laval-2010-pdf.pdf