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Logique 1/ 4 Logique - Condition nécessaire ; condition suﬃsante En français co

Logique 1/ 4 Logique - Condition nécessaire ; condition suﬃsante En français comme en mathématiques, on utilise parfois le vocabulaire suivant : « condition nécessaire » « condition suﬃsante » « condition nécessaire et suﬃsante » Ces mots tentent de donner un lien logique entre deux propositions ou propriétés, plus précisément une relation de cause à eﬀet. Exemple : Pour avoir mon bac il est nécessaire d’avoir au dessus de 10. Pour avoir mon bac il suﬃt d’avoir 18 de moyenne. Pour avoir les meilleurs places, il est nécessaire d’être classé parmi les 10 premiers à l’examen de sortie de l’ENA. 1°) Condition suﬃsante On dit qu’une propriété A suﬃt à une autre propriété B lorsque, dès que A est réalisée, B l’est aussi. Cela correspond à l’implication mathématique A ⇒B. En eﬀet, on a déﬁni l’implication par : Implication ⇒: Relation entre deux propositions telle que l’exactitude de la première entraîne celle de la seconde. Le symbole se note ⇒. Une relation « A ⇒B » se traduit en français par « Si A alors B » Exemple : « Si x et y sont tous deux négatifs alors xy ≥0 » peut se dire aussi « x ≤0 et y ≤0 ⇒xy ≥0 » ou encore « il suﬃt que x et y soient tous deux négatifs pour que leur produit xy soit positif » Exemple : « Pour avoir son bac, il suﬃt d’avoir 10 de moyenne » est une aﬃrmation exacte « Pour avoir son bac, il suﬃt d’avoir au moins 15 de moyenne » est une autre aﬃrmation exacte, mais il ne faut pas croire que la condition « avoir au moins 15 de moyenne » est une condition indispensable. 2°) Condition nécessaire On dit qu’une propriété C est nécessaire à une autre propriété D lorsque, dès que C n’est pas réalisée, D ne peut pas l’être. Cela correspond à l’implication mathématique D ⇒C. En eﬀet, la propriété D ⇒C est équivalente à sa contraposée : NON(C) ⇒NON(D). Exemple : « Pour avoir son permis de conduire, il est nécessaire d’avoir son code » signiﬁe que « si je n’ai pas mon code, je ne peux pas avoir mon permis de conduire » ou encore que « si j’ai mon permis alors c’est que j’ai eu mon code » . Exemple : « Si je n’ai pas au dessus de 10 alors je n’ai pas mon bac » peut se dire aussi « il est nécessaire d’avoir au moins 10 pour être reçu au bac » ou encore « si j’ai mon bac, c’est que j’ai eu au dessus de 10 de moyenne ». 3°) Condition nécessaire et suﬃsante, condition équivalente On dit qu’une propriété A est nécessaire et suﬃsante à une autre propriété B lorsque A et B sont deux propriétés équivalentes ; on dit aussi que « A est vraie si et seulement si B ». En eﬀet, A suﬃt à B donc A ⇒B. Et A est nécessaire à B donc NON(A) ⇒NON(B), soit B ⇒A. Et par conséquent A ⇐ ⇒B. Exemple : « Si x et y sont tous deux de même signe, alors xy ≥0 » et « Si xy ≥0, alors x et y sont tous deux de même signe » donc « xy ≥0 ⇐ ⇒x et y sont tous deux de même signe » Remarque : Lorsqu’on dit « A si et seulement si B », on dit deux choses : premièrement « A si B » donc B ⇒A ; deuxièmement « A seulement si B » donc B est nécessaire à A, et donc A ⇒B. Méthode : raisonnement par double implication ou par condition nécessaire et suﬃsante ? Logique 2/ 4 Pour montrer que A est vraie si et seulement si (ssi) B est vraie, on peut travailler par double implication en montrant que A ⇒B et que réciproquement B ⇒A. On parle de démonstration par implication et réciproque ; cette méthode est à peu de chose près identique à un raisonnement par condition nécessaire et suﬃsante : logiquement ces deux raisonnements sont équivalents, mais dans la tournure des phrases, on insiste plus sur la relation de dépendance forte entre l’un et l’autre. 4°) Utilisation en mathématiques de condition nécessaire et suﬃsante Dans certains raisonnements un peu longs ou délicats en mathématiques, notamment en géométrie, on cherche à résoudre un problème en deux étapes : • on cherche une condition nécessaire sans laquelle le problème ne peut exister, et on regarde ensuite si cette condition est suﬃsante ou s’il faut rajouter une ou plusieurs conditions nécessaires supplémentaires. • on cherche une condition nécessaire sans laquelle le problème ne peut exister, et on raisonne alors par équiva- lence, moyennant cette condition. • on cherche d’abord une condition suﬃsante puis on cherche à aﬃner pour voir si dans un cas plus large la relation ne pouvait pas aussi avoir lieu. Exemple : Si A et B sont deux points donnés, on cherche une condition nécessaire et suﬃsante pour qu’un point I soit le milieu du segment [AB]. • Méthode : on cherche une condition nécessaire sans laquelle le problème ne peut exister, et on regarde en- suite si cette condition est suﬃsante ou s’il faut rajouter une ou plusieurs conditions nécessaires supplémentaires. • Solution : Condition nécessaire n°1 : I doit être aligné avec A et B. Mais cette condition n’est manifestement pas suﬃsante. Condition nécessaire n°2 : I doit être à la même distance de A et de B. Et on voit que ces deux conditions nécessaires mises ensemble deviennent suﬃsantes : si I est équidistant de A et B, alors I est sur la médiatrice de [AB]. Si de plus A, I et B sont alignés, alors I est à l’intersection de la médiatrice de [AB] et de la droite (AB). I est donc le milieu de [AB]. On a donc « I milieu de [AB] » ⇐ ⇒ « I est équidistant de A et B » et « les points A, I et B sont alignés » Exemple : Si A, B et C sont trois points distincts donnés, on cherche une condition nécessaire et suﬃsante pour qu’un point M soit à la même distance des trois points A, B et C. • Méthode : on cherche une condition nécessaire sans laquelle le problème ne peut exister, et on regarde en- suite si cette condition est suﬃsante ou s’il faut rajouter une ou plusieurs conditions nécessaires supplémentaires. • Solution : On se dit que si la condition « M est à la même distance des trois points A, B et C » est réalisée alors forcément AM = MB et donc M est équidistant des points A et B. Le point M est donc situé sur la médiatrice du segment [AB]. Par conséquent, cette condition « M est situé sur la médiatrice du segment [AB] » est une condition nécessaire. On a donc une inﬁnité de points qui peuvent être solution : tous les points de la médiatrice du segment [AB]. Mais on peut faire le même raisonnement pour les points B et C, donc la condition « M est situé sur la médiatrice du segment [BC] » est une autre condition nécessaire. Et le même raisonnement pour les points A et C, donc la condition « M est situé sur la médiatrice du segment [AC] » est une autre condition nécessaire. Une condition nécessaire est donc que M soit le point d’intersection des médiatrices du triangle ABC. La condition « M est le point d’intersection des médiatrices du triangle ABC » est une condition suﬃsante à M équidistant des points A, B et C car on sait alors que si M est le point d’intersection des médiatrices du triangle ABC alors M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et M a la propriété souhaitée. Exemple : Trouver des conditions équivalentes portant sur x et y pour que xy ≥1. • Méthode : Commencer par trouver des conditions nécessaires. Logique 3/ 4 • Solution : Si on cherche des conditions sur x et y pour que xy ≥1 alors on peut se dire que si xy = 1 alors le produit xy est positif, et donc x et y sont de même signe. La condition « x et y sont de même signe » est donc une condition nécessaire. Mais elle n’est pas suﬃsante car x = y = 0, 1 ne vériﬁent pas xy = 1. Mais on a déjà une idée : on découpe le problème en deux cas : premier cas x et y sont tous deux positifs ; second cas, x et y sont tous deux négatifs. Si x et y sont tous deux positifs alors xy ≥1 ⇐ ⇒ y ≥1 x. Et si x et y sont tous deux négatifs alors xy ≥1 ⇐ ⇒y ≤1 x. Et on a donc l’équivalence suivante : xy ≥1 ⇐ ⇒ x ≥0 et y ≥1 x ou x ≤0 et y ≤1 x Exemple uploads/Philosophie/ terms-logique-cns.pdf