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Raisonnements mathématiques Omar Mouchtaki Voyons quelques types de raisonnemen

Raisonnements mathématiques Omar Mouchtaki Voyons quelques types de raisonnement classiques qu’on peut utiliser en mathématiques. 1 Le raisonnement par récurrence Dans la plupart des domaines mathématiques, il faut souvent démontrer des propositions sur tous les entiers. Pour ce faire, il est parfois intéressant de suivre un raisonnement "de proche en proche". L’idée est qu’on va s’aider du fait que la proposition est vraie pour un entier n aﬁn de la montrer pour l’entier suivant n+1. C’est ce qu’on appelle le raisonnement par récurrence. Le formalisme mathématique est le suivant : On note P(n) une propriété qui dépend de n. Par exemple : P(n) : "si n est premier alors n est impair.” Nous voyons que la proposition P est vraie pour tous les entiers sauf pour 2 puisque 2 est premier et pair. Si nous voulons montrer pour tout n appartenant à N que la proposition P(n) est vraie, le principe de récurrence nous indique qu’il suﬃt d’eﬀectuer les deux étapes suivantes : — Initialisation : On vériﬁe que P(0) est vraie. Remarquons qu’il ne s’agit pas forcé- ment de P(0) mais de P(n0) où n0 est le premier entier pour lequel la propriété est vraie. — Hérédité : On suppose que P(n) est vraie et on montre qu’alors P(n + 1) est vraie. P(n) doit nous servir à démontrer P(n + 1). Remarque 1. Pour mieux comprendre ce qu’est un raisonnement par récurrence, il peut être utile de garder en mémoire l’image suivante. Supposons que nous soyons devant une échelle inﬁnie et que je veuille vous démontrer que je suis capable de grimper arbitrairement haut. Une mauvaise idée consisterait à monter les échelons les uns après les autres car je n’arriverais jamais au sommet de l’échelle en temps ﬁni... Néanmoins, si je vous montre que je suis capable de me mettre sur une marche de l’échelle (la première par exemple) et si je vous montre qu’à partir d’une marche quelconque, je sais passer à la marche suivante, alors vous pourrez considérer que je sais gravir une échelle inﬁnie ! Le fait de savoir monter sur la première marche symbolise l’initialisation et le fait de savoir passer d’une marche à la suivante représente l’hérédité. Exemple 1. La suite (un)n∈N est déﬁnie par : u0 ∈R ∀n ∈N∗, un+1 = u2 n Calculer un en fonction de u0 et de n. Reprenons l’image précédente. Pour trouver comment monter à l’échelle, il est bon de s’in- téresser aux premières marches. Autrement dit, on doit d’abord tester les premières valeurs 1 (n = 0, 1, 2 . . .) pour savoir ce qu’on veut démontrer. C’est une démarche importante dans toute résolution de problème. Ici, on a : u1 = u2 0, u2 = u2 1 = u4 0, u3 = u2 2 = u8 0. Avec les premiers termes, on a donc l’intuition que un = u2n 0 . Montrons-le par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, on obtient bien que u0 = u0. Hérédité : Soit p ∈N. Supposons la propriété vraie au rang p. Montrons-la au rang p + 1, c’est-à-dire montrons que up+1 = u2p+1 0 . On sait que up+1 = u2 p. Or, l’hypothèse de récurrence nous dit que up = u2p 0 . Par conséquent, up+1 = (u2p 0 )2 = u2p+1 0 . D’où l’hérédité. Conclusion : Pour tout n ∈N, un = u2n 0 . 2 Le raisonnement par l’absurde Le raisonnement par l’absurde est un autre type de raisonnement très utile pour rédiger proprement certains exercices. Aﬁn de montrer qu’une proposition est fausse, on suppose par l’absurde qu’elle est vraie et on raisonne jusqu’à amener une contradiction. On peut alors dire que la proposition que nous avons supposée est fausse. Exemple 2. Montrer qu’il existe une inﬁnité de nombres premiers. Supposons par l’absurde qu’il existe un nombre ﬁni n de nombres premiers. On peut les noter p1, . . . , pn. Considérons le nombre N = p1p2 . . . pn. On sait alors que N+1 n’est divisible par aucun pi puisque les pi divisent N (la démonstration de cet énoncé est un exercice simple d’arithmétique laissé au lecteur). Par conséquent N + 1 n’est divisible par aucun nombre premier plus petit que lui et il est strictement supérieur à 1. N + 1 est donc premier. Or comme N + 1 est plus grand que tous les pi, on vient de construire un nombre qui n’est pas dans l’ensemble énoncé plus tôt, ce qui contredit l’existence d’un nombre ﬁni n de nombres premiers. Par conséquent, il existe une inﬁnité de nombres premiers. Exemple 3. Montrer l’irrationalité de √ 2. Supposons par l’absurde que √ 2 est rationnel. Par déﬁnition des rationnels, on peut donc trouver p ∈Z et q ∈N∗tels que p et q soient premiers entre eux et √ 2 = p q . Alors 2q2 = p2, donc 2 divise p2. De ce fait, 2 divise p (ceci sera démontré au paragraphe suivant). On peut ainsi écrire p = 2k. D’où l’équation : q2 = 2k2. Donc 2 divise q2 et donc q aussi. Par conséquent, 2 divise q et p, ce qui contredit le fait qu’ils sont premiers entre eux. Donc √ 2 est irrationnel. 3 Le raisonnement par contraposée Le raisonnement par contraposée repose sur la proposition suivante. Proposition 1. Ces deux propositions sont sémantiquement équivalentes : 1. A ⇒B 2 2. non B ⇒non A En pratique, cette proposition vient de la logique mathématique qui coïncide avec la logique quotidienne. "Si j’ai faim, alors je mange" est logiquement équivalent à la phrase "Si je ne mange pas, alors je n’ai pas faim". Remarque 2. Attention : il ne faut jamais dire que la contraposée de A ⇒B est non A ⇒ non B. Avec l’exemple précédent, on obtiendrait la proposition "Si je n’ai pas faim alors je ne mange pas" qui ne dit pas la même chose que la proposition "si j’ai faim alors je mange". Je recommande vivement au lecteur de réﬂéchir à ces petites subtilités sur des exemples assez simples pour ne pas faire d’erreurs parfois lourdes de conséquences. Exemple 4. Soit n ∈N. Montrer que si n2 est pair, alors n est pair. Ici, il est possible de faire le raisonnement directement, mais la contraposée rend la preuve beaucoup plus simple. D’après la proposition ci-dessus, il suﬃt de montrer que si n est im- pair, alors n2 est aussi impair. Pour cela, écrivons n = 2k + 1 avec k ∈N puisque n est impair. On a alors n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Donc n2 est bien un nombre impair. 4 Le raisonnement par analyse-synthèse Le raisonnement par analyse-synthèse sert à démontrer l’existence d’un objet. Cette méthode se divise en deux parties. — Analyse : on suppose dans un premier temps l’existence de l’objet souhaité. À l’aide des propriétés qu’il est censé vériﬁer, on obtient autant d’informations que possible sur la façon de construire un tel objet. — Synthèse : lorsqu’on a suﬃsamment d’informations sur l’objet recherché, on le construit explicitement et on vériﬁe qu’il répond au problème. Bonus : si la phase d’analyse fournit une expression explicite de l’objet recherché sans alternative possible, on a même démontré l’unicité de cet objet. Exemple 5. Soit a ∈R et I = [−a, a]. Montrer que toute fonction f : I →R s’écrit comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Analyse : Soient g une fonction paire et h une fonction impaire telles que f = g + h. On a alors que pour tout x ∈I, f(x) = g(x) + h(x) et f(−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) −h(x). On a donc un système de 2 équations à 2 inconnues. Sa résolution nous donne : g(x) = f(x) + f(−x) 2 h(x) = f(x) −f(−x) 2 Bonus : Nous savons ici que nous avons unicité sous réserve d’existence car g et h sont déﬁnis de manière unique par f. Synthèse : Posons g(x) = f(x) + f(−x) 2 h(x) = f(x) −f(−x) 2 On vériﬁe aisément que g est paire, que h est impaire et que f = g + h, ce qui permet de conclure la preuve. 3 uploads/Philosophie/ raisonnements-mathematiques.pdf