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1 Vocalulaire de la logique et théorie des ensembles Table des matières 1 Intro

1 Vocalulaire de la logique et théorie des ensembles Table des matières 1 Introduction 2 2 Les connecteurs logiques 2 2.1 Expression, proposition, axiome et théorème . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 La négation : le connecteur logique NON . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 La conjonction : le connecteur logique ET . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 La disjonction : le connecteur logique OU . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.5 L’implication : le connecteur logique Si... alors . . . . . . . . . . . . 5 2.6 L’équivalence logique : le connecteur logique Si et seulement si . . 6 3 Les quantiﬁcateurs 7 3.1 Le quantiﬁcateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Le quantiﬁcateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Propriétés des quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3.1 L’ordre des quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3.2 Négation d’une proposition universelle . . . . . . . . . . . . 8 3.3.3 Négation d’une proposition existentielle . . . . . . . . . . . 8 4 Théorie des ensembles 9 4.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.1.2 Élement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.1.3 Sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.4 Union de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.5 Lois De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 PAUL MILAN 10 août 2012 TERMINALE S 2 2 LES CONNECTEURS LOGIQUES 1 Introduction Le raisonnement mathématique obéit à une logique. Depuis l’adoption des mathématiques modernes à l’école, on a mis en application les recherches sur la logique du XIXe siècle. Ainsi sont apparus des nouveaux symboles comme : ⇒, ⇔, ∀, ∃qu’un mathématicien utilise maintenant couramment. Mais ces sym- boles sont souvent utilisés comme abréviation sans en connaître leur véritable signiﬁcation. L’objet de ce paragraphe est de déﬁnir puis de donner quelques exemples pour clariﬁer leur utilisation. Avant de commencer il faut savoir que les mathématiques sont fondées sur une dualité c’est à dire qu’une proposition est soit fausse soit vraie. Il n’y a pas d’entre deux, c’est à dire qu’une proposition " à moitié vraie " ou "presque vraie" est considérée comme fausse. Cependant qu’est-ce que la logique ? La logique mathématique diffère de la logique formelle philosophique. Science de la démonstration, la logique mathématique consiste surtout en l’étude des rapports formels existant entre les propositions indépendamment de toute in- terprétation que l’on pourrait en donner ou des valeurs de vérité que l’on peut leur attribuer. DICTIONNAIRE DES MATHÉMATIQUES Édition Puf. La deuxième partie de ce chapitre a pour but de rappeler certaines notions élémentaires sur les opérations logiques avec les ensembles, le vocabulaire et les signes mathématiques qui s’y rattachent. Il est important d’assimiler ces termes et déﬁnitions aﬁn de pouvoir d’avantage formaliser le langage mathématique. Votre expression mathématique gagnera en précision et votre compréhension du lan- gage mathématique s’améliorera. De plus cette formulation mathématique vous fera gagner du temps et de la rigueur. 2 Les connecteurs logiques 2.1 Expression, proposition, axiome et théorème Définition 1 : Une expression est un ensemble de signes (lettres, chiffres, symboles, mots, etc.) possédant une signiﬁcation dans un univers donné. Exemple : En algèbre « 3x2 + 4x −5 » En géométrie « ABC un triangle » Définition 2 : Une proposition propose l’expression d’un fait. Une proposi- tion est synonyme d’énoncé. Exemples : En algèbre « 3x2 + 4x −5 = 0 », « 23 = 8 » En géométrie « ABC est un triangle équilatéral », « ABCD est un losange ». PAUL MILAN 10 août 2012 TERMINALE S 2.2 LA NÉGATION : LE CONNECTEUR LOGIQUE NON 3 On peut composer des expressions ou des propositions en utilisant certains mots ou certains symboles possédant une signiﬁcation tels que les connecteurs logiques (connecteurs propositionnels) et les quantiﬁcateurs. On répartit les propositions en deux catégories : les axiomes et les théorèmes. Définition 3 : Un axiome est une proposition dont on admet qu’elle est vraie. Un théorème est une proposition dont il faut établir la véracité. Un théorème est donc vrai s’il se déduit logiquement d’axiomes. Exemples : Un axiome « Par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu’une parallèle. » (5e postulat d’Euclide) Un théorème « Un triangle est rectangle si et seulement le carré de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. » (théorème de Pythagore) 2.2 La négation : le connecteur logique NON Définition 4 : Nier une proposition, c’est passer de la déﬁnition d’une partie d’un ensemble à la déﬁnition de son complémentaire. Son symbole est ¬ qui se place devant la proposition. C’est le seul connecteur qui porte sur une seule proposition. Quelques exemples : P ¬P x > 4 x ⩽4 x ∈N x / ∈N A, B, C alignés ABC triangle (D) et (D′) secantes (D) // (D′) Du fait du principe de dualité, c’est à dire qu’une proposition est soit vraie soit fausse, on a donc : soit la proposition P est vraie soit la proposition ¬P est vraie. Pour analyser les différents cas possibles, on a l’habitude de présenter les connecteurs logiques à l’aide de tables appelées « tables de vérité » . La table de vérité du connecteur NON sera donc : P ¬P Vrai Faux Faux Vrai Si on utilise une notation informatique on remplaçant Vrai par 1 et Faux par 0 on obtient alors : P ¬P 1 0 0 1 PAUL MILAN 10 août 2012 TERMINALE S 4 2 LES CONNECTEURS LOGIQUES 2.3 La conjonction : le connecteur logique ET Définition 5 : Le connecteur logique ET porte sur deux propositions. La proposition (P et Q) notée P ∧Q est vrai si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies, la proposition P ∧Q est fausse dans tous les autres cas. On a la table de vérité suivante : P Q P ∧Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Faux Faux Vrai Faux Faux Faux Faux Quelques exemples : P Q P ∧Q x < 10 x>2 x ∈] 2 ; 10 [ ABCD losange ABCD rectangle ABCD carré 2.4 La disjonction : le connecteur logique OU Définition 6 : Le connecteur logique OU porte sur deux propositions. La proposition (P ou Q) notée P ∨Q est fausse si les deux propositions sont simulta- nément fausses, la proposition P ∨Q est vraie dans tous les autres cas. On a la table de vérité suivante : P Q P ∨Q Vrai Vrai Vrai Vrai Faux Vrai Faux Vrai Vrai Faux Faux Faux Quelques exemples : P Q P ∨Q x < 2 x > 10 x ∈ ] −∞; 2 [∪]10 ; +∞[ n multiple de 3 inférieur à 10 n pair inférieur à 10 n ∈{2, 3, 4, 6, 8, 9} PAUL MILAN 10 août 2012 TERMINALE S 2.5 L’IMPLICATION : LE CONNECTEUR LOGIQUE SI. . uploads/Philosophie/ vocabulaire-de-la-logique-et-theorie-des-ensembles.pdf