U.M.M.B - Faculté des Sciences-lic Maths - 2020/2021- Responsable : Khodja Le C

U.M.M.B - Faculté des Sciences-lic Maths - 2020/2021- Responsable : Khodja Le Corrigé de la Série : Notions fondamentales Exercice 6 :  Soient X et Y deux ensembles convexes. Montrons que X + Y est un ensemble convexe. Par dé…nition X + Y = fz = x + y = x 2 X et y 2 Y g X + Y est convexe ssi 8z1; z2 2 (X + Y ) et 8 2 [0; 1] : z1 + (1 )z2 2 X + Y Soit z1 2 X + Y alors 9x1 2 X et 9y1 2 Y telque z1 = x1 + y1: Et de même soit z2 2 X + Y alors 9x2 2 X et 9y2 2 Y telque z2 = x2 + y2 ainsi z1 + (1 )z2 = (x1 + y1) + (1 )(x2 + y2) = (x1 + (1 )x2) + (y1 + (1 )y2) or x1 + (1 )x2 2 X car X est convexe, et y1 + (1 )y2 2 Y car Y est convexe. D’où z1 + (1 )z2 2 X + Y; par conséquent X + Y est un ensemble convexe.  X [ Y n’est pas toujours un ensemble convexe. On prend comme exemple : X = [1; 2] ; Y = [6; 10] et x1 = 2 2 X [ Y; x2 = 6 2 X [ Y;  = 1=2 alors x1 + (1 )x2 = 4 = 2 [1; 2] [ [6; 10] Donc X [ Y n’est pas un ensemble.f(x; y) 2 R2; x2 + y  1g Soient a1 = (x1; y1) 2 A et a2 = (x2; y2) 2 A telsque x2 1 + y1  1 = ) y1  1 x2 1 et y2  1 x2 2 A est convexe ssi 8a1; a2 Exercice 7 : i: A = f(x; y) 2 R2; x2 + y  1g : Soient a1 = (x1; y1) 2 A et a2 = (x2; y2) 2 A telsque x2 1 + y1  1 = ) y1  1 x2 1 et y2  1 x2 2: A est convexe ssi 8a1; a2 2 A et 8 2 [0; 1] : a1 + (1 )a2 2 A, ceci est équivalent à montrer que : (x1 + (1 )x2); (y1 + (1 )y2) 2 A? qui est encore équivalent à monter que : (x1 + (1 )x2); (y1 + (1 )y2) 2 R et (x1 + (1 )x2)2 + (y1 + (1 )y2)  1? On a (x1 + (1 )x2); (y1 + (1 )y2) 2 R (R est convexe) et (x1 + (1 )x2)2 + (y1 + (1 )y2) = x2 1 + 2(1 )x1x2 + (1 )2x2 2 + y1 + (1 )y2 or on a a1 = (x1; y1) 2 A = ) y1  1 x2 1 = ) y1   x2 1 de même a2 = (x2; y2) 2 A = ) y2  1 x2 2 = ) (1 ) y2  (1 ) (1 )x2 2: Ainsi (x1+(1)x2)2+(y1+(1)y2)  x2 1+2(1)x1x2+(1)2x2 2+x2 1+(1)(1)x2 2  ( 1)(x2 1 2x1x2 + x2 2) + 1  (1 )(x1 x2)2 + 1  1 par conséquent A est un ensemble convexe ii: B = f(x; y) 2 R2; 1  x  y2 et y  0g B est convexe ssi 8b1; b2 2 B et 8 2 [0; 1] : b1+(1)b2 2 B 9 b1 =  x1 y1  =  4 2  2 B et 9 b2 =  x2 y2  =  16 4  2 B et 9  = 1=2 telsque   x1 y1  + (1 )  x2 y2  =  10 3  = 2 B car 32 = 9  10 par conséquent B n’est pas un ensemble convexe. Exercice 8 : 1: soit f : D  Rn ! R; avec D un ensemble convexe et f convexe sur D:On dé…nit l’ensemble : Et = fx 2 D; f (x)  tg Montrons que Et est un ensemble convexe. 1 Et est un ensemble convexe ssi 8x1; x2 2 Et et 8 2 [0; 1] : x1 + (1 )x2 2 Et. x1 + (1 )x2 2 Et ( ) 8 < : x1 + (1 )x2 2 D et f(x1 + (1 )x2)  t 8x1; x2 2 Et;on aura alors x1; x2 2 D; et comme D est un ensemble convexe , alors x1+(1)x2 2 D et f (x1 + (1 ) x2)   f(x1) + (1 ) f(x2) ( car f est convexe)  t + (1 )t ( car x1; x2 2 Et)  t par conséquent Et est un ensemble convexe 2: Soit g une fonction a¢ne sur Rn et soit t 2 Rn; on dé…nit les deux demi espaces : Et = fx 2 Rn; g(x)  tg Ft = fx 2 Rn; g(x)  tg Montrons que Et et Ft sont des ensembles convexes. On a : g(x) = lA; x m +b où A; x 2 Rn et b 2 R: = Ax + b 8x1; x2 2 Rn et 8 2 [0; 1] ; g(x1 + (1 ) x2) =t A(x1 + (1 )x2) + b = tAx1 + (1 )tAx2 + (1 +  )b = (tAx1 + b) + (1 )(tAx2 + b) = g(x1) + (1 )g(x2): Par conséquent g(x) est une fonction convexe (elle est même concave).Comme g(x) est convexe alors, on fait le même raisonnement que pour la question précédente pour montrer que Et et Ft sont convexes. Exercice 9 : Etant donné une fonction f : D  Rn ! R: L’épigraphe de la fonction f est l’ensemble dé…ni par  epi(f) = f(x; ) 2 D  R telque f(x)   g Montrons que f est une fonction convexe ( )  epi(f ) est un ensemble convexe. On va montrer la double implication :  f est convexe = )  epi(f ) est un ensemble convexe.  epi(f ) est un ensemble convexe ssi 8 (x1; 1); (x2; 2) 2  epi(f ) et 8  2 [0; 1] ;on a ((x1; 1) + (1 ) (x2; 2) 2  epi(f ). Soient (x1; 1); (x2; 2) 2  epi(f ) et  2 [0; 1] alors f (x1)  1 et f (x2)  2; alors on a : ((x1; 1)+(1) (x2; 2)) = (x1 +(1) x2; 1 +(1) 2 ) 2  epi(f ) car f (x1 + (1 ) x2)   f(x1) + (1 ) f(x2) car f est convexe  1 + (1 )2 Ceci donne que  epi(f ) est convexe.   epi(f ) est un ensemble convexe) f est une fonction convexe. 8x; y 2 D; (x; f (x)) ; (y; f (y)) 2  epi(f ) ( car f(x)  f(x)): 8x; y 2 D; 8 2 [0; 1]; ( (x; f (x)) + (1 ) (y; f (y))) = (x + (1 ) y; f (x) + (1 ) f (y)) 2  epi(f ) ) f (x + (1 ) y)   f(x) + (1 ) f(y) (par dé…nition de  epi(f )) ) f est convexe. Exercice 11 : Toutes les fonctions sont des polynômes, donc de classe C1 (R) par suite elles sont convexe si et seulement si leurs matrices Hessienne sont symétrique dé…nie positives (SDP). 1. f (x; y) = x2 + 2xy 10x + 5y Le gradient rf (x; y) = 2x + 2y 10 2x + 5  ) r2f (x; y) = 2 2 2 0  ) les mineurs principaux diagonaux sont 2 1 = 2; 2 = det 2 2 2 0  = 0 4 = 4; donc la matrice Hessienne n’est pas SDP par suite f n’est pas convxe. Même raisonnement pour les autres fonctions . Exercice 12 : 1. Montrons que f (x) = Ln (Ln (x)) est concave sur ]1; +1[ : La fonction f 2 C2 (]1; +1[) ) f ’(x) = 1 xLn (x) ) f ”(x) = (Ln (x) + 1) (xLn (x))2 = 1 Ln (x)  1 Ln (x) + 1 x2  < 0; alors f ext concave. 2. En déduire que 8a; b > 1; Ln a + b 2   p (Lna) (Lnb): Comme f est concave, alors 8a; b 2 [1; +1[ ; 8 2 [0; 1] ; on a f (a + (1 ) b)  f (a)+(1 ) f (b) uploads/Philosophie/ corrige-opt-serie1.pdf

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