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Lecture notes luis paris licence de mathematiques cours d x27 algebre 2 2012 2013 2013

Licence de math ?ematiques Cours d ? Alg ebre ?? Luis Paris Formes bilin ?eaires et formes sym ?etriques Formes bilin ?eaires sym ?etriques Dans ce chapitre K d ?esignera le corps Q des nombres rationnels le corps R des nombres r ?eels ou le corps C des nombres complexes D ?e ?nition Soit E un espace vectoriel sur K On appelle forme bilin ?eaire sur E une application b de E ? E dans K telle que a b x ? x y b x y ? b x y pour tous x x y ?? E et ? ?? K b b x y ? y b x y ? b x y pour tous x y y ?? E et ? ?? K On dit que cette forme est sym ?etrique si de plus c b x y b y x pour tous x y ?? E Exemple Posons E Rn Soit b E ? E ? R d ?e ?nie par b x xn y yn x y xnyn Alors b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique sur E Exemple Soit E R Soit b E ? E ? R l ? application d ?e ?nie par b x x x y y y x y ?? x y Alors b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique Exemple Soit E C l ? espace des applications continues de l ? intervalle dans R Soit b E ? E ? R d ?e ?nie par b f g f t g t dt Alors b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique CExemple Soit E Mn K l ? espace des matrices carr ?ees a n lignes et n colonnes Soit b E ? E ? K d ?e ?nie par b A B Tr AB Alors b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique sur E Exemple Soient E un espace vectoriel et E ? K deux formes lin ?eaires Soit b E ? E ? K d ?e ?nie par b u v u v Alors b est une forme bilin ?eaire Elle n ? est pas en g ?en ?eral sym ?etrique D ?e ?nition On suppose que E est de dimension ?nie n Soient b une forme bilin ?eaire sur E et B e en une base ordonn ?ee de E On appelle matrice de b dans B la matrice MB b b ei ej ? i j ? n ?? Mn K Exemple Soient E R et b E ? E ? R d ?e ?nie par b x x x y y y x y ?? x y x y Alors b est une forme bilin ?eaire sym ?etrique F EB F F F ED F F et sa matrice dans la base canonique est ?? ?? Lemme Soient b E ? E ? K une forme bilin ?eaire B une base de E et M MB b la matrice de b dans la base B Soient x y