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Méthodes mathématiques avancées Pour l’analyse économique Lahcen OULHAJ Profess

Méthodes mathématiques avancées Pour l’analyse économique Lahcen OULHAJ Professeur de sciences économiques ii Méthodes mathématiques avancées pour l’analyse économique Copyright © 2017 par OCP Policy Center. Tous droits réservés. Aucun élément de cet ouvrage ne peut être reproduit, sous quelque forme que ce soit, sans l’autorisation expresse des éditeurs et propriétaires. Les vues exprimées ici sont celles des auteurs et ne doivent pas être attribuées à OCP Policy Center. Contact : OCP Policy Center Ryad Business Center – Aile Sud, 4ème etage Mahaj Erryad - Rabat, Maroc Tél : +212 537 27 08 08 Email : contact@ocppc.ma Website : www.ocppc.ma ISBN : 978-9954-9636-7-8 Dépôt Légal : 2017MO2006 A propos d’OCP Policy Center OCP Policy Center est un think tank marocain « policy oriented », qui a pour mission de contribuer à approfondir les connaissances et à enrichir la réflexion autour de questions économiques et de relations internationales revêtant un enjeu majeur pour le développement économique et social du Maroc, et plus largement pour celui du continent africain. Porteur d’une « perspective du Sud », sur les grands débats internationaux ainsi que sur les défis stratégiques auxquels font face les pays émergents et en développement, OCP Policy Center apporte une contribution sur quatre champs thématiques majeurs : agriculture, environnement et sécurité alimentaire; développement économique et social ; économie des matières premières ; et géopolitique et relations internationales. Sur cette base, OCP Policy Center est activement engagé dans l’analyse des politiques publiques et dans la promotion de la coopération internationale favorisant le développement des pays du Sud, via ses travaux de recherche, ses conférences et séminaires et son réseau de jeunes leaders. Conscient que la réalisation de ces objectifs passe essentiellement par le développement du Capital humain, le think tank a pour vocation de participer au renforcement des capacités nationales et continentales en matière d’analyse économique et de gestion à travers sa Policy School récemment créée. www.ocppc.ma A propos de l’auteur Lahcen Oulhaj est depuis le 22 février 2011, Membre du Conseil Economique, Social et Environnemental (CESE). Il est également président de la commission de l’analyse de la conjoncture au sein du même conseil. En parallèle, Oulhaj est professeur de sciences économiques, poste qu’il occupe depuis 1990, à l’université Mohamed V de Rabat-Agdal. Il enseigne aujourd’hui la philosophie en licence de science politique, l’économétrie et l’économétrie des données de panel ainsi que l’optimisation dynamique en master de sciences économiques, les méthodes quantitatives en master de science politique, et la politique économique en master des échanges euro-méditerranéens. Il a enseigné à la Faculté de Droit de Casablanca avant de rejoindre celle de Rabat. Il a été Doyen de la Faculté des sciences juridiques, économiques et sociales de l’université Mohamed V de Rabat-Agdal de janvier 2005 à septembre 2013. Il a été Chef du département de sciences économiques dans le même établissement entre 2000 et 2002. Il a aussi été membre de la Commission de la révision constitutionnelle mars-juin 2011. Nommé par le Roi au conseil d’administration de l’Institut royal de la culture amazighe (IRCAM) en juin 2002, il reste membre de ce conseil d’administration jusqu’en juin 2010. Lahcen Oulhaj, titulaire du Doctorat d’état en sciences économiques en janvier 1995 et responsable du Laboratoire d’Economie Appliquée à la faculté de Droit de Rabat, a réalisé et encadré plusieurs projets de recherche pour FEMISE, depuis 1999 (membre du Streering Committee), plusieurs articles publiés dans différentes revues, et a encadré un grand nombre de thèses. Chercheur sur les questions politiques, linguistiques et anthropologiques, il a publié un manuel d’économie en 1985, un livre de grammaire amazighe en 2000, et Vocabulaire de l’amazigh moderne, en 2013. Abstract Linear algebra Systems of linear equations and matrix transformation Calculus Ordinary diﬀerential equations Probability and mathematical statistics Random variables Asymptotic theory Variational calculus Préface Ce manuel est destiné aux étudiants des Masters de sciences sociales et, en par- ticulier, de sciences économiques. Il peut être utile aux étudiants de licence voulant approfondir ce qu’ils ont appris dans ce cycle, en vue de se préparer au cycle sui- vant. Il peut également servir aux enseignants d’économie voulant réviser des notions oubliées, faute d’utilisation, ou, carrément, découvrir des chapitres mathématiques nouveaux, comme les systèmes linéaires d’équations ou le calcul des variations, qu’ils n’ont jamais rencontrés durant leurs études. Le présent livre commence par rappeler les notions d’algèbre matricielle, norma- lement, programmée en licence de sciences économiques. Le chapitre 2 constitue un prolongement naturel du premier, en algèbre linéaire. Il propose l’étude des systèmes linéaires d’équations et les transformations de matrices, pour traiter de la décomposition des matrices, devenue un outil couramment utilisé en économétrie des séries chronologiques et des données de panel. Le chapitre 3 reprend le calcul diﬀérentiel et intégral de licence et l’approfondit pour déboucher sur le calcul fractionnaire, resté longtemps à la marge des études mêmes de mathématiques. Ces notions de dérivées ou intégrales, en fait diﬀérinté- grales, d’ordres fractionnaires, en fait réels, sont de plus en plus utilisées en économie, notamment par les économistes de la London School of Economics, qui ont développé le modèle ARFIMA, F pour fractionnaire. Ces notions sont particulièrement utiles en économétrie ﬁnancière. Le chapitre 4 traite des équations diﬀérentielles ordinaires, lesquelles sont deve- nues indispensables dans l’étude des systèmes dynamiques en économie. On sait que la macroéconomie servant de cadre aux politiques économiques (conjoncturelles) est devenue dynamique, depuis les travaux des économistes du cycle réel des aﬀaires (Finn E. Kydland et Edward C. Prescott, entre autres) au début des années 1980. Ce modèle du cycle réel (RBC model), après avoir intégré des apports keynésiens et monétaristes, est devenu le modèle DSGE (Dynamic and Stochastic General Equi- librium), qui constitue l’outil privilégié de la conduite de la politique monétaire, à travers le monde, au moins jusqu’en 2008. Le chapitre 5 rappelle et approfondit les cours de licence sur les statistiques et probabilités. Il présente toutes les lois discrètes usuelles. Le chapitre 6 prolonge le chapitre précédent en approfondissant l’étude des lois v usuelles et variables continues uni et multidimensionnelles. Il présente également la fonction génératrice des moments, ainsi que les fonctions d’une variable aléatoire continue. Le chapitre 7 présente des éléments de la théorie statistique asymptotique, les moments empiriques et les distributions empirique et théorique. Il traite également des notions, très utiles à l’économiste statisticien, de convergence et les théorèmes fondamentaux de statistique. Le dernier chapitre 8 introduit l’optimisation dynamique qui est au cœur de l’analyse économique et s’attarde quelque peu sur le calcul des variations, resté depuis Newton, Euler et Lagrange, le seul outil de résolution des problèmes d’optimisation dynamique, jusqu’aux années 1950 qui ont vu l’élaboration du principe du maximum du russe Pontryaguine et de la programmation dynamique de l’américain Richard Bellman. L.O., Rabat, octobre 2016 vi Prologue La question de l’utilisation des mathématiques en économie a longuement divisé les économistes, entre partisans de la mathématisation et défenseurs d’un discours exclusivement littéraire. Au milieu du 20` eme siècle, la question semblait avoir été tranchée en faveur des premiers. C’est ainsi que selon G. Stigler et al. 1, les articles de revue n’utilisant ni graphiques ni formules mathématiques ne représentent que 5.3 % de l’ensemble des articles en 1990, contre 95 % en 1892 ! C’est-à-dire que le vingtième siècle a été celui de la mathématisation triomphante de l’économie, en grande partie grâce aux succès remportés par l’économétrie. A vrai dire, le principal clivage, au 19` eme siècle, était entre partisans du déducti- visme et ceux de l’inductivisme empirique. Adam Smith, Thomas Robert Malthus, comme David Ricardo étaient tous partisans de la déduction et donc de la logique. Les deux premiers basaient leur logique sur les faits empiriques et étaient donc aussi empiristes, comme l’était Aristote, dont l’empirisme et la logique dominaient les sciences morales comme les sciences naturelles, depuis sa redécouverte et consécra- tion, dans la doctrine catholique, par Saint Thomas d’Aquin (1224-1274). Celui-ci, après Aristote, considère que la connaissance est d’abord sensible, par les sens. Ce qui est à l’opposé de la doctrine de Platon qui considère que la réalité est en-dehors de l’être humain et que les sens de celui-ci ne lui donnent pas accès à la réalité in- telligible des formes (ou des idées) se situant dans un monde à part. On sait que c’est Platon qui a largement inspiré la première doctrine catholique qui a régné mille ans durant, à travers l’évêque philosophe Saint Augustin, né à Tagaste (Souk Hrass, Algérie actuelle) en 354 et mort à Hippone (Annaba aujourd’hui) en 430. David Ricardo ne basait pas sa logique sur des faits empiriques, mais sur des hypothèses. Sa méthode représente bien ce qu’on appelle le modèle hypothético- déductif largement dominant tout au long du 19` eme siècle. Les trois grands économistes cités ci-dessus n’utilisaient point de mathématiques. Mais, Ricardo avait tendance à raisonner sur des modèles théoriques qu’il pensait utiles à la conduite de la politique économique, alors que Malthus s’opposait à la sur- simpliﬁcation et généralisation auxquelles il impute toutes les erreurs et diﬀérences d’analyses entre économistes. 1. Stigler, G., Stigler, S., Friedland, C. The Journals of uploads/Politique/ video-2-pdf.pdf