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1 1 CHAPITRE 3 VARIABLES ALEATOIRES Variable Aléatoire 2 Exemple introductif: 

1 1 CHAPITRE 3 VARIABLES ALEATOIRES Variable Aléatoire 2 Exemple introductif: Dans un jeu on lance deux fois une pièce de monnaie, on gagne en dirhams le nombre de fois où face est sorti. Mais si pile sort deux fois, vous versez à l’organisateur 3 dirhams. On sait que l’ensemble W traduisant l’expérience est W = {PP,PF,FP,FF}. À l’issue de PP, on associe le réel –3 ; à l’issue de PF ou FP, on associe 1 ; à l’issue FF, on associe 2. Considérons la fonction qui à chaque événement élémentaire associe un réel. Dans cet exemple on note X le gain du joueur cette fonction: X(PP)= -3 X(PF)=X(FP)=1 X(FF)=2 X est appelé variable aléatoire définie de W dans {-3,1,2} 2 Variable aléatoire 3 La variable aléatoire est une variable dont la valeur est déterminée par le résultat d’une expérience aléatoire. Cette valeur appartient à un ensemble V. Définition : On appelle variable aléatoire une application X définie sur un espace de probabilité (Ω, P) et à valeurs réelles. La fonction de répartition F d'une variable aléatoire X est la fonction de IR dans IR définie, pour tout réel x, par : F(x) = P({ X ≤ x }) • Si V est un ensemble discret, la v.a. est dite discrète. • Si V est un ensemble continu, la v.a. est dite continue.   IN n n n      ,.... 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3 .....,   IR b a b a  , , 4 Proposition: Soient X une v. a., F sa fonction de répartition, alors: 1. ∀x ∈IR, 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Le comportement à l’infini : 3. La fonction F est croissante. 4. La fonction F est continue à droite, i. e. Exercice: Soit X une variable aléatoire, et soit F sa fonction de répartition. Pour a et b réels (a < b), exprimer en fonction de F : P( X > a ), P( a< X ≤b ), P[X<a]. 1 ) ( lim 0 ) ( lim       x F et x F x x ) ( ) ( lim a F x F IR x a x      Exemples : Somme des points obtenus en lançant 2 dés. Temps mis pour traiter une transaction à un guichet d’agence bancaire. 3 5 Remarque: Cet exercice montre que la connaissance de la fonction de répartition F d'une variable aléatoire X permettra de calculer, pour n'importe quel intervalle I de IR , la probabilité P({ XϵI }). On peut démontrer qu'elle permet aussi, de calculer la probabilité P({ XϵB }) pour n'importe quel sous-ensemble B de IR . On dit en que la fonction de répartition de X détermine la loi de probabilité de X. Distribution de probabilités d’une variable aléatoire discrète : Loi de probabilité 6 Soit {x1, x2,…, xn} l’ensemble des valeurs possibles de la variable X. Notons par pi=p(xi) = P(X = xi), la probabilité pour que la variable X prenne la valeur xi. On décrit la distribution ou la loi de probabilité de la variable aléatoire X en présentant l’ensemble des valeurs possibles de la variable et les probabilités. Définition: Soit X une v. a. discrète, on appelle fonction de masse de X, la fonction définie par avec ) ( ] 1 , 0 [ : x P x IR p X X          sinon 0 ) ( si ] [ ) ( X x x X P x pX 4 Loi de probabilité discrète xi x1 x2 x3 …… xn P(xi)=P(X=xi)=pi p1 p2 p3 …… pn 7 Propriété : Si est une loi de probabilité alors La fonction de répartition dans ce cas est une fonction en escalier On peut représenter la distribution de X par le tableau suivant:     , , x x p xV 0 1 x x x p x p          V  j j x x F x p   8 Propriétés: Application: Dans le cas du jet de deux dés, la somme S des deux dés est une variable aléatoire discrète à valeurs dans F = {2, 3, . . . , 12} dont la loi est définie par P(S = 2) = P(S = 12) = 1/36 P(S = 3) = P(S = 11) = 1/18 P(S = 4) = P(S = 10) = 1/12 P(S = 5) = P(S = 9) = 1/9 P(S = 6) = P(S = 8) = 5/36 P(S = 7) = 1/6. Définir sa fonction de répartition puis la représenter. Soit A ⊂Ω un événement. Sa fonction indicatrice 1A : Ω → {0, 1} définie par est une variable aléatoire discrète de loi : P(1A = 1) = P(A) et P(1A = 0) = 1 − P(A). Définir sa fonction de répartition puis la représenter.   ). ( ) ( ) ( : a on ,......, 2 tout Pour * ) ( [ , [ tout Pour * 1 1 1           k k k m k k m m x F x F x X P n k p x F x x x         sinon 0 si 1 ) ( 1 A A    5 9 Dans cette partie, X et Y désignent deux variables aléatoires discrètes réelles. On note X(Ω)={xn; n∈I} et Y(Ω)={yn; n∈J} On dit que X est d'espérance finie si la famille (xnP(X=xn))n est sommable. Si c'est le cas, on appelle espérance de X la somme de cette famille : Proposition : Si X est intégrable càd donc absolument convergente et par suite sommable, alors E(X)<+∞ L'espérance est linéaire : si X et Y sont d'espérance finie, X+Y est d'espérance finie et E(X+Y)=E(X)+E(Y). L'espérance est positive : si X≥0 est d'espérance finie, alors E(X)≥0. En particulier, si X≤Y et X et Y sont d'espérance finie, alors E(X)≤E(Y). Si |Y|≤X et X est d'espérance finie, alors Y est d'espérance finie. Paramètres d’une loi discrète     I n n n x X P x X E ) ( ) (     n n n x X P x ) ( 10 Théorème de transfert : Soit f une fonction définie sur X(Ω) à valeurs dans IR. Alors f(X) est d'espérance finie si et seulement si la famille (P(X=xn)f(xn))n∈I est sommable. Dans ce cas Application: Reprendre l’exemple du lancer des deux dés dont X représente la somme des résultats et calculer E(X). Variance     I n n n x X P x f X f E ) ( ) ( )) ( ( Définition: Soit X : Ω → F ⊂IR une variable aléatoire discrète à valeurs réelles. Alors X est dite de carrée intégrable si X² est intégrable i.e. Dans ce cas, on définit la variance de X par Var(X) = E(X − E(X))² La racine carrée de la variance est appelée écart-type. Remarque: Var(X) ≥ 0 donc E(X²) ≥ (E(X))².     n n n x X P x ) ( 2 6 Couple de variables aléatoires - indépendance 11 On appelle couple de variables aléatoires discrètes un couple (X,Y) Où X et Y sont deux variables aléatoires discrètes. La loi conjointe du couple (X,Y) est la loi de (X,Y) vue comme variable aléatoire. Autrement dit, la loi conjointe est la donnée de toutes les valeurs de P(X=x,Y=y) pour (x,y)∈X(Ω)×Y(Ω). Les lois de X et de Y sont les lois marginales de X et de Y. Soit x un élément de X(Ω) tel que P(X=x)>0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant que (X=x) la probabilité Px définie sur Y(Ω) par ∀y∈Y(Ω), Deux variables aléatoires discrètes X et Y sont dites indépendantes si, pour tout x∈X(Ω) et tout y∈Y(Ω), on a P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y) ) ( ) , ( ) / ( ) ( x X P y Y x X P x X y Y P y P X        12 Proposition: Soient X1, . . . ,Xn des variables aléatoires de carré intégrable. Alors X1 + . . . + Xn est de carré intégrable et si les Xi sont indépendantes, alors Si X est une v.a et Y = aX + b où a et b sont deux constantes réelles, a non nulle. Alors Var(Y) = a²Var(X) .       n i i n X Var X X X Var 1 2 1 ) ( ) .... ( Soit (Xn)n∈I une famille de variables aléatoires, où I est fini ou dénombrable. On dit que les variables aléatoires (Xn)n∈I sont mutuellement indépendantes lorsque, pour toute partie finie J={i1,…,ip}⊂I, pour tout (xi1,…,xip)∈Xi1(Ω)×⋯×Xip(Ω) on a Exemple: On montre que si X et Y sont des v.a qui calculent respectivement les résultats du uploads/Religion/ chap3-proba.pdf