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c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applicat

c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applications : déﬁnitions ensemblistes Déﬁnition 1.1 (Application, ensembles de départ et d’arrivée, graphe) ➢On appelle application tout triplet f = (E, F, Γ) constitué ◮d’un ensemble E appelé ensemble de départ, ◮d’un ensemble F appelé ensemble d’arrivée ◮et d’une partie Γ de E × F telle que ∀x ∈E, ∃!y ∈F, (x, y) ∈Γ. ➢La proposition « (x, y) ∈Γ » qui signiﬁe que le couple (x, y) appartient au graphe de f se note plus habituellement « y = f(x) ». On dit alors que y est l’image de x par f et que x est un antécédent de y par f. ➢Plutôt que de déﬁnir une application par son graphe, on préfère noter f : E →F x 7→f(x) ou encore plus simplement f : x 7→f(x) s’il n’y a pas d’ambiguïté sur les espaces de départ et d’arrivée. ➢L’ensemble des éléments de F qui sont images d’éléments de E par f (i.e. qui ont un antécédent par f) est appelé l’image de f, notée Im f. Plus formellement Im f = {y ∈F | ∃x ∈E, y = f(x)} = {f(x), x ∈E} Remarque. Une application n’a pas toujours comme ensembles d’arrivée et de départ des ensembles de réels ou même de nombres. On pourrait par exemple considérer E l’ensemble des élèves de la classe, F l’ensemble des entiers naturels et f l’application de E dans F qui à un élève associe son âge. Remarque. ➢Un élément de E a toujours une image par f. ➢Un élément de F n’a pas toujours un antécédent par f. ➢Un élément de F peut avoir plusieurs antécédents par f. Exemple 1. Considérons la fonction carrée f : R − →R x 7− →x2 . Soit y ∈F. ➢Si y < 0, y n’a pas d’antécédent par f. ➢Si y > 0, y a deux antécédents par f (√y et −√y). ➢Si y = 0, y a un seul antécédent par f (0 lui-même). L’image de f est R+. Bien que le programme oﬃciel stipule de ne pas faire de diﬀérence entre applications et fonctions, il existe néanmoins une nuance. Une application est toujours déﬁnie sur son ensemble de départ, ce qui n’est pas le cas d’une fonction. Par exemple, R − →R x 7− →√x est une fonction mais pas une application. En revanche, R+ − →R x 7− →√x est bien une application. Si f : E →F est une fonction, on appelle ensemble de déﬁnition de f l’ensemble des x ∈E tels que f(x) est déﬁni. On le note généralement Df. Par exemple, si f est la fonction racine carrée, l’ensemble de déﬁnition de f est R+. Diﬀérence entre application et fonction http://laurentb.garcin.free.fr 1 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Si f est une application (resp. une fonction) dont l’ensemble de départ (resp. l’ensemble de déﬁnition) E est une partie de R (typiquement un intervalle) et dont l’ensemble d’arrivée est R (ou une partie de R), on peut représenter graphiquement le graphe de f. Si on munit le plan d’un repére (orthonormé), l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) où x décrit E est une « courbe » du plan. Représentation graphique Exemple 2. La courbe ci-contre n’est pas un graphe d’application ou de fonc- tion. En eﬀet, l’argument x est associé à plusieurs valeurs, ce qui contredit la contrainte imposée sur un graphe (un élément de l’es- pace de départ n’a qu’une image dans l’espace d’arrivée). x b b b E F Notation 1.2 (Ensemble des applications) L’ensemble des applications d’un ensemble E dans un ensemble F se note FE. Remarque. Une famille d’éléments d’un ensemble E indexée sur un ensemble I est également une application de I dans E. C’est pourquoi l’ensemble de ces familles se note également EI. Déﬁnition 1.3 (Egalité d’applications) Deux applications f et g sont égales si elles ont même ensembles de départ E et d’arrivée F et même graphe Γ. L’égalité des graphes est équivalente à la condition suivante : ∀x ∈E, f(x) = g(x) Attention ! En toute rigueur, les applications R →R x 7→x2 , R+ →R x 7→x2 et R →R+ x 7→x2 sont trois applications diﬀérentes puisque leur ensemble de départ ou d’arrivée diﬀère. La première et la dernière ont pourtant le même graphe. 2 Composition Déﬁnition 2.1 (Composée d’applications) Soient f : E →F et g : F →G deux applications. L’application f : E →G x 7→g(f(x)) est appelée la composée de f suivie de g et se note g ◦f. http://laurentb.garcin.free.fr 2 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Attention ! Sens de composition Dans la notation g ◦f, g précède f mais on eﬀectue d’abord f puis g. Cette convention de notation est due au fait que (g ◦f)(x) = g(f(x)). Quand on a deux applications f : E →F et g : F →G, on peut déﬁnir g ◦f mais pas forcément f ◦g. En eﬀet, l’ensemble d’arrivée de la première application doit être égal à (ou au moins inclus dans) l’ensemble de départ de la deuxième application. Même si on peut déﬁnir les deux applications g ◦f et f ◦g, ce sont en général deux applications diﬀérentes. Si on considère f : x 7→sin x et g : x 7→x2, on a g ◦f : x 7→sin2 x et f ◦g : x 7→sin x2, qui sont deux applications diﬀérentes (l’une est toujous positive alors que l’autre non). Si f ◦g = g ◦f, on dit que f et g commutent. Exemple 1. Les applications C − →C z 7− →iz et C − →C z 7− →z5 commutent. Proposition 2.2 (Associativité de la composition) Soient f : E →F, g : F →G et h : G →H trois applications. Alors h ◦(g ◦f) = (h ◦g) ◦f On peut donc noter h ◦g ◦f sans parenthèses. Déﬁnition 2.3 (Application identique) Soit E un ensemble. L’application E − →E x 7− →x est appelée application identique ou plus simplement identité de E. Elle se note IdE. Proposition 2.4 (Elément neutre) Soient f : E →F une application. Alors IdF ◦f = f ◦IdE = f 3 Image directe, image réciproque 3.1 Image directe Déﬁnition 3.1 (Image directe) Soient f : E →F une application et A une partie de E. On appelle image (directe) de A par f, notée f(A), l’ensemble des éléments de F qui sont images d’élément de A (i.e. qui ont un antécédent dans A). Autrement dit, f(A) = {y ∈F|∃x ∈A, y = f(x)} = {f(x), x ∈A} http://laurentb.garcin.free.fr 3 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Si f est une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles, on peut déterminer l’image d’une partie à partir du graphe de f. Pour cela, on place la partie A sur l’axe des abscisses et on projette sur l’axe des ordonnées la partie de la courbe située à la verticale de A. A f(A) Attention ! L’image par une fonction f d’un intervalle [a, b] n’est pas en général l’intervalle [f(a), f(b)]. L’image d’un intervalle ouvert (resp. fermé) n’est pas forcément un intervalle ouvert (resp. fermé). Exemple 1. ➢L’image par la fonction exp de R+ est l’intervalle [1, +∞[. ➢L’image par la fonction sin de l’intervalle i −π 2 , π 2 h est l’intervalle ] −1, 1[. ➢L’image par la fonction sin de l’intervalle ]0, 2π[ est l’intervalle [−1, 1]. 3.2 Image réciproque Déﬁnition 3.2 (Image réciproque) Soient f : E →F une application et B une partie de F. On appelle image réciproque de B par f, notée f−1(B), l’ensemble des éléments de E qui sont antécédents d’éléments de B (i.e. qui ont une image dans B). Autrement dit, f−1(B) = {x ∈E|f(x) ∈B} Si f est une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles, on peut déterminer l’image réciproque d’une partie à partir du graphe de f. Pour cela, on place la partie B sur l’axe des ordonnées et on projette sur l’axe des abscisses la partie de la courbe située à l’horizontale de B. B f−1(B) Exemple 2. ➢L’image réciproque de l’intervalle [1, 2[ par exp est l’intervalle [0, ln 2[. ➢L’image réciproque de [4; +∞[ par la fonction carrée est ] −∞, −2] ∪[2; +∞[. ➢L’image réciproque de {0} par la fonction sin est πZ (l’ensembles des multiples entiers de π). !!! Le ﬁchier ApplicationsLK01.tex n’existe pas !!! http://laurentb.garcin.free.fr 4 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry 3.3 Union et intersection Proposition 3.3 Soient f : E →F une application, A et B deux parties de E, C et D deux parties de F. f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B) f(A ∪B) = f(A) ∪f(B) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩f−1(D) f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪f−1(D) Attention ! L’inclusion f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B) peut être stricte. Prenons par exemple pour f la fonction carrée. f([−2, 0]) ∩f([0, 2]) = [0, 4] mais f([−2, 0] ∩[0, 2]) = f({0}) = {0} 4 Restriction et prolongement Déﬁnition 4.1 (Restriction, prolongement, corestriction) ➢Soient f : E →F est une application et A une uploads/Religion/ ensembles-et-applications.pdf