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PS1 Devoir surveillé n ° 7 Lundi 12 mars 2018 Les exercices peuvent être faits

PS1 Devoir surveillé n ° 7 Lundi 12 mars 2018 Les exercices peuvent être faits dans l'ordre que l'on souhaite La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE I 4 points La variable X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,4 Déterminer, en arrondissant à 10 −4 près, en justifiant la démarche : a) P(X=9) b) P(X=20) c) P(X⩽5) d) P(X>3) e) P(12⩽X⩽20) f) P(X⩾11) EXERCICE II 5,5 points Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes. Cette compagnie effectue une étude basée sur 2 trajets pendant les 20 jours ouvrés d'un mois, soit au total 40 trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres. La probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est de p=0,05 Un trajet coûte 10 euros et, en cas de fraude, l'amende est de 100 euros. Théo fraude systématiquement lors des 40 trajets étudiés. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de trajets où Théo a été contrôlé. 1. a) Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable X ? Justifier. b) Déterminer, à 10 −4 près, la probabilité que Théo soit contrôlé 5 fois c) Calculer, à 10−4 près, la probabilité que Théo soit contrôlé au plus 2 fois d) Quel est le nombre moyen de contrôles que peut subir Théo sur les 40 trajets ? 2. Soit Z la variable aléatoire donnant le gain algébrique réalisé par le fraudeur. a) Justifier que Z= 400−110X b) Calculer E(Z) c) La fraude systématique est-elle favorable à Théo ? d) Quelles devraient être les valeurs de p pour qu'il en soit autrement ? EXERCICE III (2 points) On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f, dérivable sur [ – 10;10] . En déduire le signe de la dérivée f ' (x) en fonction de x On énoncera très précisément chaque règle utilisée puis on donnera la réponse sous forme de tableau x –10 0 5 10 f –3 3 0 2 EXERCICE IV ( 5,5 points) 1) On considère la fonction f, définie sur ℝ par f (x)=x3+ x2−5 x+1 Déterminer les variations de f sur ℝ et dresser son tableau de variations 2) Soit g la fonction définie sur [ 3 2 ;+∞[ par g(x)= x 2−x+1 x−1 a) Calculer g '(x) b) Déterminer les variations de la fonction g sur [ 3 2 ;+∞[ et dresser le tableau de variations de g sur [ 3 2 ;+∞[ c) Monter que pour tout x ∈[ 3 2 ;+∞[ , g(x)>2 corrigé EXERCICE I La variable X suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,4 Déterminer, à 10−4 près, en justifiant la démarche : a) P(X=9) = ( 30 9) 0,4 9 0,6 21 ≈ 0,0823 0,5 b) P(X=20)=( 30 20) 0,4 20 0,6 10 ≈ 0,0020 0,5 c) P(X⩽5) ≈0,0057 0,25 d) P(X>3) = 1−P(X⩽3) ≈0,9997 0,75 f) P(X⩾11) = 1−P(X⩽10) ≈0,7085 1 e) P(12⩽X⩽20) = P(X⩽20)−P(X<12) = P(X⩽20)−P(X⩽11) ≈0,5681 1 EXERCICE II Une compagnie de transports désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes. Cette compagnie effectue une étude basée sur 2 trajets pendant les 20 jours ouvrés d'un mois, soit au total 40 trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres. La probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est de p=0,05 Un trajet coûte 10 euros et, en cas de fraude, l'amende est de 100 euros. Théo fraude systématiquement lors des 40 trajets étudiés. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de trajets où Théo a été contrôlé. 1. a) On observe une expérience aléatoire à 2 issues : soit Théo est contrôlé , soit il ne l'est pas. Cette expérience est répétée de façon indépendante, comme dit dans l'énoncé. X suit donc une loi binomiale de paramètres n=40 et p=0,05 1 b) probabilité que Théo soit contrôlé 5 fois : p(X=5) = ( 40 5 ) 0,055×0,9535 ≈ 0,0342 0,75 c) probabilité que Théo soit contrôlé au plus 2 fois : p(X⩽2) ≈ 0,6767 0,5 d) nombre moyen de contrôles que peut subir Théo sur les 40 trajets : E(X)=40×0,05=2 En moyenne Théo sera contrôlé deux fois. 0,5 2. a) Si Théo payait tous ses trajets, il dépenserait 40×10=400 euros S'il est contrôlé une fois, il devra payer 10+100 euros (prix du ticket + amende) En étant contrôlé X fois il paye 110X Son gain est donc de Z=400−110X 1 b) E(Z)=400−110×E(X)=400−2×110 = 180 (propriété vue dans le chapitre précédent) 0,5 c) E(Z)>0: la fraude systématique est favorable à Théo 0,25 d) La fraude sera défavorable à Théo si E(Z)<0 Z=400−110×E(X)=400−110× p×40 = 400−4400 p 400−4400 p<0 ⇔p> 400 4400 ⇔p> 1 11 (≈0,0910) La fraude sera défavorable à Théo si la probabilité d'être contrôlé est supérieure à 0,091 1 EXERCICE III Sur [−10 ;0 ] , la fonction f est croissante donc sa dérivée est positive 0,25 Sur [0;5] , la fonction f est décroissante donc sa dérivée est négative 0,25 Sur [5;10] , la fonction f est croissante donc sa dérivée est positive 0,25 0 et 5 sont dans l'intervalle ouvert ]−10;10[ 0,25 ; on observe que : - la fonction f admet un maximum local en x=0 donc f ' (0)=0 0,25 - la fonction f admet un minimum local en x=5 donc f ' (5)=0 0,25 On obtient donc le tableau de signes ci-dessous 0,5 x –10 0 5 10 f –3 3 0 2 f ' (x) + 0 – 0 + EXERCICE IV 1) On considère la fonction f, définie sur ℝ par f (x)=x 3+ x 2−5 x+1 On calcule la dérivée de f : f ' (x)=3 x2+2 x−5 0,5 puis on étudie le signe de f ' (x) f ' (x) est un polynôme de degré 2 avec a=3 , b=2,c=−5 Δ=2 2−4×3×(−5)=64 = 8 2 2 racines : x1=−2+8 6 =1 et x2=−2−8 6 =−5 3 On obtient donc le tableau de signe de f ' (x) et les variations de f signe (justifié) 1 Variations 0,75 x –∞ −5 3 1 +∞ f '(x) + 0 – 0 + a>0 f 202 27 –2 f (1)=13+12−5×1+1=−2 f( −5 3 )=−125 27 + 25 9 + 25 3 +1 = −125 27 + 75 27 + 225 27 + 27 27 = 202 27 2) Soit g la fonction définie sur [ 3 2 ;+∞[ par g(x)= x 2−x+1 x−1 de la forme u v on a u(x)=x 2−x+1 donc u' (x)=2 x−1 et v(x)=x−1 donc v '(x)=1 a) on calcule g '(x)=(2 x−1)(x−1)−1(x 2−x+1) (x−1)2 = 2 x 2−3 x+1−x 2+x−1 (x−1) 2 = x 2−2 x (x−1) 2 = x (x−2) (x−1)2 1 b) (x−1)2>0 donc g '(x) est du signe de x(x−2)= x2−2 x ; de la forme a x 2+b x+c avec (a>0) donc x(x−2) est négatif entre les racines 0 et 2, positif ailleurs signe (justifié) 1 x 3 2 2 +∞ f '(x) – 0 + f 7 2 3 g(2)= 2 2−2+1 2−1 =3 ; g( 3 2)= 9 4−3 2+1 3 2−1 = 7 4 1 2 = 7 2 variations 0,75 c) Le minimum de g sur [ 3 2 ;+∞[ est 3>2 donc pour tout x> 3 2 , on a g(x)>2 0,5 uploads/Religion/ ds7ps1-2017-2018.pdf