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2011-2012 Fiches de mathématiques MPSI 2 Espaces vectoriels Olivier Sellès, tra

2011-2012 Fiches de mathématiques MPSI 2 Espaces vectoriels Olivier Sellès, transcrit par Denis Merigoux Table des matières 1 Déﬁnitions, exemples, faits de base 3 1.1 Déﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Règles de calcul dans un K-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Combinaisons linéaires, familles libres, liées, génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Familles libres et liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.3 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Déﬁnition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Sous-espaces vectoriels 10 2.1 Déﬁnition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Petite histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.3 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.4 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Applications linéaires 17 3.1 Déﬁnition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Relations avec les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Propriétés des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4.1 Image d’un sous espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.2 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.3 Injectivité et liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.4 Surjectivité et engendrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4.5 Composition des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4.6 Réciproque d’un isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5.2 Introduction aux K-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Projecteurs et symétries 24 4.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Exemple standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.1 Propriétés de pF,G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2.2 Propriétés de sF,G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2.3 Forme générique des projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 uploads/Religion/ espaces-vectoriels-chap21.pdf