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Analyse Combinatoire Probabilité Page 1 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Tec

Analyse Combinatoire Probabilité Page 1 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Analyse Combinatoire – Probabilité Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Exercice 1 Les élèves d’une classe sont choisis au hasard l’un après l’autre pour subir un examen. Calculer la probabilité p pour que l’on ait alternativement un garçon et une fille sachant que : 1°) la classe est composée de 4 garçons et 3 filles 2°) la classe est composée de 3 garçons et 3 filles. Exercice 2 Une boîte A contient 8 pièces détachées dont 3 sont défectueuses et une boîte B contient 5 pièces dont 2 sont défectueuses. On tire au hasard une pièce détachée dans chaque boîte. 1°) Quelle est la probabilité p1 pour que les deux pièces détachées ne soient pas défectueuses ? 2°) Quelle est la probabilité p2 pour que l’une des pièces détachées soit défectueuse et l’autre ne l’est pas ? 3°) Si l’une des pièces est défectueuse et l’autre ne l’est pas, quelle est la probabilité p3 pou que la pièce défectueuse provienne de l’urne A ? Exercice 3 Les probabilités pour que trois tireurs atteignent une cible sont : 6 1 , 4 1 , 3 1 . Chacun tire une seule fois sur la cible. 1°) Calculer la probabilité p pou que l’un d’eux atteigne exactement la cible. 2°) Si seulement un d’eux a atteint la cible, quelle est la probabilité q pour qu’il s’agisse du premier tireur ? Exercice 4 (Bac SBT : Juin 1984) On dispose d’un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette ce dé et on note le chiffre obtenu sur la face supérieure. La probabilité p(n) d’obtenir le chiffre n est donnée par les hypothèses suivantes : P(1) = 4 1 et les p(i) forment une progression arithmétique de raison a. 1°/ a) Calculer les p (i) , i parcourant l’univers Ω, et leur somme en fonction du premier terme et de la raison a. b) En déduire les valeurs de la raison a et des probabilités des événements élémentaires. c) Quelle est la probabilité d’obtenir un chiffre multiple de 3 ? 2°/ On jette ce dé 5 fois de suite. Soit X la variable aléatoire qui au 5 jets du dé associe le nombre de fois où le 1 est sorti. a) Donner la loi de probabilité de X ; b) Déterminer la fonction de répartition de X et tracer sa courbe représentative. c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X Exercice 5 (Bac SBT Juin 1980) Dans un centre d’examen un surveillant procède à un contrôle d’identité. On admet que 2% des élèves contrôlés ont oublié leur carte d’identité à la maison. Le surveillant contrôle n élèves. On considère la variable aléatoire X égale au nombre d’élèves ayant oublié leu carte d’identité à la maison. 1°/Exprimer en fonction de n la probabilité de l’événement : {X = 0}. 2°/ Exprimer en fonction de n la probabilité, pour qu’au cours du contrôle, il y ait au moins un élève ayant oublié sa carte d’identité 3°/ Calculer le nombre minimum N d’élèves à contrôler pour que la probabilité de l’événement {X≥1} soit supérieure ou égale à 0,95. 4°/ Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. Analyse Combinatoire Probabilité Page 2 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 6 (Bac SBT Juin 1982) Un sac contient 10 jetons qui ont la même probabilité d’être tirés, n d’entre eux sont marqués 10 les autres sont marqués 50. n est un entier naturel vérifiant 3 ≤ n ≤ 7. On tire ensemble 3 jetons du sacs et on désigne par X la variable qui, à un tirage associe la somme des nombres marqués sur les 3 jetons. 1°/ Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X. 2°/ Déterminer la loi de probabilité de X. 3°/ Montrer que l’espérance mathématique de X est / E (X) = 24 ) 2 )( 1 ( − − n n n + 24 ) 10 )( 1 ( 7 n n n − − + 24 ) 9 )( 10 ( 11 n n n − − + 24 ) 8 )( 9 )( 10 ( 5 n n n − − − . 4°/ Calculer E(X). 5°/ Déterminer n pour que 60 ≤ E(X) ≤ 90. Exercice 7 (Bac SET Juin 1988) On considère cubique dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6. Ce dé est pipé. 1°/ Lorsqu’on lance le dé une fois, déterminer la probabilité pi d’apparition de la face numérotée i sachant que : p1 = p3 = p5 ; p2 = p4 = p6 et p2 = 3p1. 2°/ On lance le dé 5 fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de résultats pairs obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. Exercice 8 (Bac SET Juin 1987) On joue avec deux dés cubiques non pipés. Les faces de l’un sont numérotées : 0 ; 0 ; 3 π ; 3 π ; 3 4π ; 3 4π Les faces de l’autre sont numérotées 0 ; 0 ; 6 π ; 6 π ; 2 π ; 2 π . On lance les deux dés simultanément. On note α et β les nombres qui apparaissent sur les faces supérieures des dés et on appelle X la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le nombre sin (α + β). 1°/ Détermine toutes les valeurs prises par X. 2) : Etablir la loi de probabilité de X. Exercice 9 (Bac SHT Juin 1983) Un sac contient 6 boules blanches dont 2 sont numérotées 1, 4 numérotées 2 et 4 boules noires dont 3 sont numérotées 1 et 1 numérotée 2. 1°/ On prélève au hasard et simultanément 3 boules de ce sac ; calculer les probabilités des événements suivants : A : les 3 boules tirées sont blanches. B : on a tiré 2 boules noires et une blanche. C : les 3 boules tirées portent le numéro 1. 2°/ Au cours de la même expérience, on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires extraites lors d’un tirage de 3 boules. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance. 3°/ On tire maintenant une boule du sac et on appelle D l’événement : la boule tirée est blanche et E l’événement la boule tirée porte le N°2. Calculer les probabilités suivantes : p(D) et p(E). Les événements D et E sont – ils indépendants ? Analyse Combinatoire Probabilité Page 3 sur 7 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 10 (Bac SET Juin 1982) Un paquet de 13 cartes à jouer comprend 6 as, 3 rois et 4 dames. Les valeurs des cartes sont les suivantes 1 as vaut 5 points, 1 roi vaut 2 points et 1 dame vaut 1 point. L’épreuve consiste à tirer simultanément deux cartes de ce jeu. On appelle X la variable aléatoire qui à tout tirage associe la somme des valeurs tirées. 1°/ Déterminer la loi de probabilité de X. 2°/ Calculer l’espérance mathématique et la variance de X Exercice 11 (Bac SET Juin 1984) On dispose de 2 dés cubiques A et B. Le dé A porte sur 2 faces le nombre 6 et sur les autres faces : 0, 1, 2, 3. Toutes les faces ont la même probabilité d’apparaître. Le dé B, pipé, porte les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilité d’apparition de chaque face est inversement proportionnelle au nombre marqué su cette face. 1°/ Quelle set la probabilité d’amener un 6 en lançant une fois : a) le dé A ? b) le dé B ? 2°/ On lance simultanément les deux dés et on désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des points marqués sur les faces. a) Déterminer l’ensemble des valeurs prises par X b) Calculer p ({X = 1}) ; p ({x = 7}) Exercice 12 (Bac SBT Juin 1987) Un sac contient 4 boules bleues numérotées 0, 1, 2, 3 et 3 boules jaunes portant toutes les trois le numéro 1. On tire simultanément 2 boules du sac. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des nombres figurant sur les boules tirées. 1) Trouver la loi de probabilité de X. 2) Calculer l’espérance mathématique de X et représenter sa fonction de répartition. Exercice12. Soit E = {e1, e2, e3} un référentiel associé à une expérience aléatoire p. 1) Combien d’événements peut on envisager sur cet ensemble E ? Préciser ces événements. 2) Déterminer la probabilité de chacun des trois événements élémentaires {e1}, {e2}, {e3} sachant que : p (e1∪ e2) =12 7 et p (e2∪ e3) =12 9 . Exercice 13 On considère une population composée de 45% d’hommes et 55% de femmes ; on suppose que 4% des hommes et 0,5% des femmes sont daltoniens : on choisit au hasard une uploads/Religion/ exoproba.pdf