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LES VARIABLES ALEATOIRES une variable aléatoire est généralement l'ensemble des

LES VARIABLES ALEATOIRES une variable aléatoire est généralement l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire (Exemple: un lancer de dé, un lancer d’un pièce de monnaie, la source générant un signal binaire ,,,,etc). Une variable aléatoire est une description numérique du résultat d'une expérience statistique. Les variables aléatoires sont généralement de nature discrètes ou continues. Des fois elles peuvent être un mélange des deux. Variable aléatoire X discrète Une variable aléatoire qui ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable est dite discrète; Exemples: •Une variable aléatoire représentant le nombre de voitures vendues chez un concessionnaire particulier au cours d'une journée serait discrète, •Les valeurs obtenues après des lancers de dé : X = « face du dé » : prend les valeurs x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (dénombrables) •…. etc GENERALITES Variable aléatoire X continue Une variable aléatoire qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle de nombres réels est dit continu. Exemples: •Une variable aléatoire représentant le poids d'une personne en kilogrammes : 50kg<=X<=100kg •La température exacte d’un four, •La longueur exacte d’une pièce fabriquée •La date et l'heure de réception d'un paiement. GENERALITES Variable aléatoire X mélange (continue et discrète simultanément) Une variable aléatoire qui peut prendre en même temps des valeurs discrètes et continues. Exemple: Un récepteur d’une chaine de transmission numérique, reçoit les données numériques binaires émis par l’émetteur mais ‘’corrompues’’ par un bruit blanc dû au canal qui est modélisé souvent comme étant une variable aléatoire continue (Gaussien centré) GENERALITES STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète Pour une variable aléatoire discrète, X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de masse de probabilité, notée f(xi); où xi l’ensemble des valeurs que la variable aléatoire discrète X peut prendre, Cette fonction fournit la probabilité pour chaque valeur xi de la variable aléatoire X. Dans le développement de la fonction de probabilité pour une variable aléatoire discrète, deux conditions doivent être satisfaites: (1)f(xi ) doit être non négatif pour chaque valeur de la variable aléatoire, 1  f(xi )  0 (2) la somme des probabilités pour chaque valeur de la variable aléatoire doit être égale à un. STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète X f(xi ) xi Densité de probabilité d’une variable aléatoire discrète 1 i p i i i n 1 i p ) x p(X x       STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Loi de probabilité d’une variable aléatoire X continue Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle de valeurs réelle ou dans une collection d'intervalles. Puisqu'il y a un nombre infini de valeurs dans n'importe quel intervalle, il n'est pas significatif de parler de la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur spécifique; au lieu de cela, la probabilité qu'une variable aléatoire continue se trouve dans un intervalle donné est considérée. f (x)dx    1 avec P(a  X  b) = f (x)dx a b  = P(X  b) - P(X  a) STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète/continue Une fonction de répartition d’une variable aléatoire x est une fonction F(x) qui, pour tout x, indique la probabilité pour que x soit inférieur ou égal à x1. Elle correspond donc à la distribution cumulée, v.a. discrète v.a. continue    x dx x f x F ) ( ) ( F(k)= P(X≤k) 0 1 0 ≤ F(x) ≤ 1 STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES L’espérance, notée E(x) correspond à une moyenne pondérée Variable aléatoire discrète Soit X un va discrète qui prend des valeurs dans l'ensemble D et a comme densité de probabilité f(xi). Alors l’espérance mathématique ou moyenne statistique (ou d’ensemble) de X est: Variable aléatoire continue L’espérance mathématique (moyenne statistique) d'une va continue X avec une fonction de densité de probabilité (pdf) f (x) est: ESPERANCE MATHEMATIQUE STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES La variance d'une variable aléatoire, notée Var(X) ou σ2, est une moyenne pondérée des écarts au carré de la moyenne. •Dans le cas discret, les poids sont donnés par la fonction de probabilité, •Dans le cas continu, les poids sont donnés par la fonction de densité de probabilité. L'écart type, noté σ, est la racine carrée positive de la variance. Étant donné que l'écart-type est mesuré dans les mêmes unités que la variable aléatoire et que la variance est mesurée en unités au carré, l'écart-type est souvent la mesure préférée. Variable aléatoire discrète Variable aléatoire continue VARIANCE Exemple 1: Soit une source qui va émettre le mot suivant: Alphabet Source = le mot ‘’annaba’’={a, n, n, a, b, a} Les symboles générés par la source sont formés par 3 lettres de l’alphabet français à savoir a, n et b, mais pas avec la même loi de probabilité, si on se restreint à cet exemple basic. La loi de probabilité est donc (pour ce cas de figure) : P(‘’a’’)=1/2, P(‘’n’’)=1/3 et P(‘’b’’)=1/6 1- Tracer sa densité de probabilité 2- Sa fonction de répartition 3- Calculer son espérance mathématique, sa variance et son écart type STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Exemple 2: Soit un bloc d’images en niveaux de gris de taille 8 × 8 pixels 10 10 10 15 200 200 200 200 15 5 255 255 200 200 200 200 10 15 10 5 200 200 200 200 10 10 10 15 200 200 200 200 15 5 255 255 100 200 100 200 10 15 10 5 100 200 100 200 20 30 30 30 100 200 100 200 20 150 20 20 100 200 100 200  Ces niveaux de gris sont normalement compris entre 0 et 255, ce qui justifie le choix habituel d’un codage de taille fixe de 8 bits par pixel. 1- Tracer sa densité de probabilité 2- Sa fonction de répartition 3- Calculer son espérance mathématique, sa variance et son écart type STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Propriétés de l’espérance mathématique 1.Propriété de l’addition : E(X + Y) = E(X) + E(Y) Démonstration: 2. Propriété de mise à l'échelle (Multiplication par une constante) E(cX) = cE(X) STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Propriétés de l’espérance mathématique 3. Propriété de linéarité : A partir des deux propriétés précédentes nous pouvons généraliser la propriété de linéarité de l’espérance mathématique 4.Inégalités de valeur absolue: 5.Multiplication E (XY) = E (X) E (Y). Ici, X et Y doivent être indépendants. 6.Addition à une constante E [X + a] = E [X] + a, où a est une constante STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Propriétés de la variance 1.Propriété 1 2.Propriété 2: d’une manière générale nous avons 3.Propriété 3 : La variance d'une constante est de 0. STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES Propriétés de la variance 4. Propriété 4 V (a1X1 + a2 X2 +… + anXn) = a1 2 V (X1) + a2 2 V (X2) +… + an 2 V (Xn). 1.Propriété 2: d’une manière générale nous avons 2.Propriété 3 : La variance d'une constante est de 0. STATISTIQUES DES VARIABLES ALEATOIRES CAS DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Considérons d'abord le cas dans lequel deux variables aléatoires sont discrètes. C’est un cas très répondu surtout en télécommunications numériques où les données discrètes de l’émission et celles reçus, Nous allons donc étendre plusieurs des définitions que nous avons apprises pour une variable aléatoire discrète, telle que la fonction de masse de probabilité, la moyenne et la variance, au cas où nous ont deux variables aléatoires discrètes. Soit deux variables aléatoire X et Y chacune pouvant prendre une valeur dans un ensemble de 4 valeurs possibles équiprobables (même probabilité pour les 4 valeurs) : X = {1, 2, 3, 4} et Y = {1, 2, 3, 4} Commençons par trouver la «distribution de probabilité conjointe (x, y) désigne l'un des résultats possibles pour les deux variables simultanément. CAS DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Si nous continuons à énumérer tous les résultats possibles, nous voyons bientôt que le l’ensemble de possibilités conjointes S a 16 résultats possibles: S = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) } Comme X et Y sont équiprobables les deux et statistiquement indépendante l’une de l’autre, nous devrions nous attendre à ce que chacun des 16 résultats possibles soit équiprobable. P(X=x,Y=y) = 1/16 La fonction de probabilité conjointe est généralement notée f (x, y), puisse être définie comme une formule, comme un graphique ou comme un tableau. CAS DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Densité de probabilité Conjointe Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes, et soit S désignent le support bidimensionnel de X et Y. Alors, la fonction f(x,y) = P(X=x,Y=y) est une fonction de masse de probabilité conjointe si elle satisfait les trois conditions suivantes: CAS DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES Densité de probabilité marginale Soit X une variable aléatoire discrète avec le support S1, et soit Y une variable aléatoire discrète avec le support S2. Soit uploads/Religion/ chapitre-2-variable-aleatoire.pdf