Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 1 PROGRAM

2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 1 PROGRAMME P Ch. préliminaire Rappel d’analyse combinatoire 2 Partie I : Calcul des probabilités 7 Chapitre 1 : Axiomatique des probabilités 8 Chapitre 2 : Variables aléatoires 16 Chapitre 3 : Lois de probabilités discrètes 20 Chapitre 4 : Lois de probabilités continues 29 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 2 Chapitre préliminaire Analyse combinatoire Introduction : Définition : L’analyse combinatoire ou encore le dénombrement est une méthode élaborée de comptage. But : Elle a pour but le dénombrement des différentes dispositions que l’on peut former à partir d’un ensemble d’éléments ou d’objets. (Elle sert à déterminer les différentes manières de regrouper les éléments d’un ensemble). Utilité : L’analyse combinatoire est très utile dans le calcul de probabilités notamment la détermination des cas favorables et cas possibles. I- Principes fondamentaux de comptage : Pour effectuer des dénombrements, deux règles (principes) sont souvent utilisées : addition et produit.  Règle d’addition : Si on peut choisir un objet A de 1 n façons et un objet B de 2 n façons, alors on peut choisir A ou B de 1 n + 2 n façons.  Règle de produit : Si on peut choisir un objet A de 1 n façons et un objet B de 2 n façons, alors on peut choisir A et B de 1 n . 2 n façons. Ces deux règles peuvent être généralisées à plusieurs objets.  Généralisation de la règle du produit : Si une opération comporte k phases différentes ; la 1ère pouvant se réaliser de 1 n façons, la 2ème de 2 n façons,….et la ième k de k n façons, l’opération tout entière peut s’effectuer de 1 n . 2 n ….. k n façons différentes. Dans de telles situations, on utilise souvent un diagramme appelé diagramme arborescent (compte tenu de son aspect). Exemple : Evaluer le nombre de manières de s’habiller à la fois d’un pantalon, d’une chemise et d’une veste si l’on dispose de 2 pantalons, de 3 chemises et de 2 vestes. 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 3 V1 C1 V2 V1 P1 C2 V2 V1 C3 V2 V1 C1 V2 V1 P2 C2 V2 V1 C3 V2 N = 2 * 3 * 2 = 12 façons différentes de s’habiller. II- Notion de disposition : a- Définition : Une disposition est un groupe d’objets distincts ou indistincts choisis parmi un ensemble plus large b- Caractéristiques d’une disposition : Une disposition présente deux caractéristiques essentielles : l’ordre et la répétition.  Une disposition peut-être ordonnée ou non ordonnée. Si la permutation de 2 objets ou éléments de la disposition donne une nouvelle disposition alors la disposition est dite ordonnée (l’ordre est important). Exemple : bac abc  (ordonnée) ; bac abc  (non ordonnée).  Une disposition peut-être avec répétition ou sans répétition. Une disposition de p objets est dite avec répétition si le même objet peut-être présent plusieurs fois (jusqu'à p fois) dans cette disposition. 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 4 Exemple : on considère des dispositions de 3 objets pris parmi les 4 objets suivants : a, b, 2, 5.  aba, 255 sont des dispositions avec répétition.  ab2, b52 sont des dispositions sans répétition.  ba5 et 5ab sont des dispositions différentes si l’on tient compte de l’ordre sinon, elles sont équivalentes. Remarque : la notion de disposition est différente de celle d’ensemble étant donné que l’ordre et la répétition des éléments ne sont pas importants pour caractériser un ensemble. III- Différents types de dispositions : Permutations – Arrangements – Combinaisons. A- Permutations : 1er cas : sans répétitions Définition : Une permutation de n éléments est une disposition ordonnée de l’ensemble de ces éléments ; chacun de ceux-ci figurant une fois et une seule dans la disposition.    1 . 2 .... 2 . 1 . !     n n n n P n . En effet, nous avons n choix possibles pour le premier élément ; n-1 choix possibles pour le deuxième élément ; n-2 choix possibles pour le troisième élément ; ….. et 1 seul choix pour le nième élément. Exemple: on dispose de 6 livres différents. De combien de manières différentes peut-on les ranger sur une étagère ? s différente manières P 720 ! 6 6   . 2ème cas : avec répétitions Définition : On appelle permutation avec répétitions le nombre de dispositions ordonnées de n objets dont k n n n ,.... , 2 1 sont respectivement identiques entre eux / indiscernables avec n = k n n n ,.... , 2 1 ! !..... !. ! 2 1 ,.... 2 , 1 ; k nk n n n n n n n P  En effet, des permutations des éléments qui sont parfaitement identiques ne donneront pas de nouvelles dispositions. 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 5 Exemple : Combien de mots peut-on écrire avec les 11 lettres du mot MISSISSIPPI ? Nombre de mots possibles : . 34650 ! 2 !. 4 !. 4 ! 11 2 , 4 , 4 ; 11 mots P   B- Arrangements : 1er cas : sans répétitions Définition : Un arrangement de p éléments choisis parmi n éléments est une disposition ordonnée, sans répétitions de p éléments parmi n, chacun d’eux ne figurant au maximum qu’une seule fois dans l’arrangement.       . 1 ...... 2 . 1 . ! !        p n n n n p n n A p n En effet, nous avons : n choix possibles pour le premier élément ; (n-1) choix possibles pour le deuxième élément ; (n-2) choix possibles pour le troisième élément ; …..et (n-p+1) pour le pième élément. Exemple : Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on écrire avec les lettres du mot AMPHI ? (Les mots ne doivent pas avoir nécessairement une signification).   . 60 ! 2 ! 5 ! 3 5 ! 5 3 5 différents mots A     2ème cas : avec répétitions Définition : Un arrangement avec répétitions de p éléments / objets choisis parmi n est une disposition ordonnée avec répétitions de p objets pris parmi n objets différents (distincts). p n  p n A En effet, nous avons n choix pour le premier élément ; n choix pour le deuxième élément ; n choix pour le troisième élément ; …… et n choix pour le dernier (pième) élément. Exemple : Soit les chiffres 1, 5, 7, 6. Combien de nombre de 2 chiffres peut-on former ? On peut former 4.4 = 16 nombres de 2 chiffres. Dans le cas des permutations ou des arrangements, nous nous intéressons à l’ordre dans lequel les objets sont rangés. Dans de nombreux problèmes cependant, la 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 6 question qui se pose est de sélectionner des objets sans aucune référence à l’ordre dans lequel ils sont. De telles sélections sont dites combinaisons. C- Combinaisons : 1er cas : sans répétitions Définition : Une combinaison de p objets pris parmi n est une disposition non ordonnée et sans répétitions de p objets parmi n.   ! ! !. ! p A p n p n C p n p n    Remarque : Le passage à une disposition non ordonnée à nécessité l’élimination des dispositions contenant les mêmes objets dans des places différentes. Exemple : de combien de manières peut-on former un comité de 4 personnes choisis parmi un groupe de 6 personnes ? Nombres de comités possibles : . 15 ! 2 !. 4 ! 6 4 6   C Propriétés des combinaisons :   . C ; 1 : ) ( q p (*). C ). ( 1 1 n 0 1 1 1 p n n C C C résultats Quelques NEWTON de binôme q p C C C formule la de symérie la de vertu en C C n n n n o n k n k n k k n n p n p n p n n p n                     (*) : L’élément peut appartenir au groupe de p parmi n ou non. On met un élément à part et on calcule séparément le nombre de combinaisons contenant cet élément et le nombre de combinaisons ne le contenant pas. 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 7 PARTIE I CALCUL DES PROBABILITES 2ème année Cours de statistique Prof : Lemtaoui Morad / rachid jahidi 8 Chapitre 1 AXIOMATIQUE DES PROBABILITES I- Vocabulaire probabiliste  Expérience aléatoire : Le mot ‘expérience’ uploads/Religion/ support-probabilite.pdf