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SESSION 2018 MPMA102 ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP ____________________ MATHÉ

SESSION 2018 MPMA102 ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP ____________________ MATHÉMATIQUES 1 Lundi 30 avril : 14 h - 18 h ____________________ N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé d’un problème avec quatre parties. 1/7 Partie I - « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss On considère l’intégrale de Gauss : I = 1 0 e−x2 dx. I.1 - Utilisation d’une série entière Q1. Démontrer à l’aide d’une série entière que : I = +∞ n=0 (−1)n (2n + 1)n!. On pose pour n ∈N : sn = n k=0 (−1)k (2k + 1)k!. 2/7 Q2. Justiﬁer que pour tout n ∈N, on a : |I −sn| ⩽ 1 (2n + 3)(n + 1)!. Q3. Informatique : écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel n et renvoie l’entier n!. Q4. Informatique : en déduire un script, qui détermine un entier N, tel que |I −sN| ⩽10−6. I.2 - Utilisation d’une autre suite de fonctions Pour tout n ∈N∗, on déﬁnit sur [0, +∞[ la fonction fn par : fn(x) = 1 −x2 n n . Q5. Déterminer, en détaillant, la limite simple de la suite de fonctions ( fn)n∈N∗. Q6. Soit n ∈N∗. Démontrer que ∀x ∈[0, 1], |fn(x)| ⩽e−x2. En déduire que : I = lim n→+∞ n k=0 n k (−1)k nk(2k + 1). Fin extrait uploads/Science et Technologie/ 99b3c9-81e3b0bb46a84bc9a4267ff770608.pdf