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EXERCICES DE R RE EC CH HE ER RC CH HE E O OP PÉ ÉR RA AT TI IO ON NN NE EL LL

EXERCICES DE R RE EC CH HE ER RC CH HE E O OP PÉ ÉR RA AT TI IO ON NN NE EL LL LE E (version 2.3 Révision 4 du 07.06.2010) Attention! Nous utilisons MS Office Excel pour la résolution des exercices dans le présent document car c'est le plus courant dans les entreprises. Malheureusement l'outil de recherche opérationnelle qui y est inclus (solveur) est médiocre et peut amener à faire des contre-sens! Il vaut mieux utiliser (dans le même genre): Calc qui est inclus dans la suite bureautique gratuite. OpenOffice.org. Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 2/36 EXERCICE 1. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com Mots-clés : recherche opérationnelle, optimisation production Enoncé : Un chef de projet connaissant le prix auquel il peut facturer au maximum ses consultants (concurrence oblige… 250.-/h.) et le prix qu'ils coûtent en interne (ressource la moins chère 160.-/h.) souhaite atteindre une marge commerciale de 15'000.- pour son futur projet client nécessitant 600 heures de travail. Jusqu'où le chef de projet peut-il baisser le montant du tarif horaire vendu au client tout en cherchant la meilleure ressource interne possible (celle ayant le coût interne le plus élevé – le niveau le plus expert - avec les contraintes définies), pour avoir une marge bénéficiaire de 15'000.- ? Remarque: Evidemment il s'agit d'une simple équation du premier degré que l'on peut résoudre à la main ou avec l'outil Cible de MS Excel mais l'idée ici est juste de se familiariser avec le solveur. Solution : Dans MS Excel, nous construisons le tableau suivant: avec dans B4 la relation suivante: =B1*(B2-B3) Nous paramétrons le solveur ainsi: Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 3/36 et nous le lançons. Il vient alors comme résultat au problème: Nous pouvons donc facturer au minimum 217.50.-/h. au client et prendre un consultant interne de type Junior B qui nous coûterait au plus 192.50.-/h. Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 4/36 EXERCICE 2. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com Mots-clés : recherche opérationnelle, optimisation production Enoncé : Supposons qu'une usine fabrique 2 pièces P1 et P2 usinées dans deux ateliers A1 et A2. Les temps d'usinage sont pour P1 de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2. Le temps de disponibilité hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures. La marge bénéficiaire est de 1'200.- pour une pièce P1 et 1'000.- pour une pièce P2. La question est : Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire? A résoudre en utilisant la représentation graphique et MS Office Excel! Solution : D'abord, il est possible de poser le système d'inéquations : 1: 3 1 4 2 160 2 : 6 1 3 2 180 1, 2 0 A X X A X X X X         Ensuite, la fonction économique : 1200 1 1000 2 Z X X     Le tracé des deux droites dans MS Excel, donne le polygone des contraintes (c'est que l'on fait dans les petites classes d'écoles) : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 5/36 où nous voyons de suite ou sont les maximums ainsi que l'optimum. Pour résoudre le problème dans MS Excel (eh oui! MS Project n'est pas fait pour l'optimisation… ce qui est logique!), créez un tableau du type suivant : et ensuite, avec le solveur MS Excel, créez les contraintes adaptées du type (attention les références de cellules ne sont pas données correctement ci-dessous afin de ne pas vous mâcher tout le boulot!) : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 6/36 Les solutions seront alors après l'exécution du solveur : 1 16 . 2 28 . X pcs X pcs   Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 7/36 EXERCICE 3. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : méthode du simplexe, optimisation production Enoncé : Supposons qu'une usine fabrique 2 pièces P1 et P2 usinées dans deux ateliers A1 et A2. Les temps d'usinage sont pour P1 de 3 heures dans l'atelier A1 et de 6 heures dans l'atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l'atelier A1 et de 3 heures dans l'atelier A2. Le temps de disponibilité hebdomadaire de l'atelier A1 est de 160 heures et celui de l'atelier A2 de 180 heures. La marge bénéficiaire est de 1'200.- pour une pièce P1 et 1'000.- pour une pièce P2. La question est : Quelle production de chaque type doit-on fabriquer pour maximiser la marge hebdomadaire? A résoudre en utilisant la méthode du simplexe. Solution : Nous avons donc le "système canonique" : 1 2 1 2 1 2 1: 3 4 160 2 : 6 3 180 , 0 A x x A x x x x      avec : 1 2 1'200 1'000 Z x x   Nous introduisons d'abord des "variables d'écart" 3 4 , x x afin de transformer les 2 inégalités par des égalités. Le système d'équations devient alors une "forme standard" : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 160 6 3 180 1'200 1'000 x x ax x x bx x x cx Z          Remarque : il y a autant de variables d'écart que d'inéquations ! La situation peut se résumer dans le tableau suivant (nous omettons la représentation des variables d'écart dans le tableau-matrice qui ne servent qu'à égaliser les équations) : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 8/36 Contraintes Total 3 4 160 6 3 180 Fonction économique 1'200 1'000 Nous déterminons maintenant le pivot (voir plus loin la méthode du pivot), pour cela nous choisissons la colonne où le coefficient économique est le plus grand. Ici c'est la colonne 1. Ensuite, nous effectuons les procédures suivantes : 1. Le pivot est remplacé par son inverse 2. On divise les éléments de la ligne du pivot (pivot exclu) par le pivot 3. On divise les éléments de la colonne du pivot (pivot exclu) par le pivot mais on change leur signe ensuite 4. Pour les autres éléments de la première ligne : élément de la ligne 1 diminué de l'élément correspondant sur la ligne de pivot multiplié par 3/6 (rapport des valeurs dans la colonne de pivot) Nous obtenons dès lors : Contraintes Total Fonction économique Ce qui donne : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 9/36 Contraintes 1 x Total 0.5 2.5 70 0.166 0.5 30 Fonction économique -200 400 Nous n'atteignons la solution optimale que lorsque tous les éléments de la marge sont négatifs ou nuls. Il faut donc continuer (car il reste 500 dans la colonne 2 x ) ... ici, on atteint déjà l'optimum au troisième tableau, mais ce n'est pas une généralité (le pivot est 2.5 cette fois). On recommence dans les opérations : Contraintes 1 x Total 0.5 0.166 ( 0.5) 2.5   Fonction économique 400 200 ( 0.5) 2.5    Ce qui donne : Contraintes 1 x Total -0.2 0.4 28 0.266 -0.2 16 Fonction économique -120 -160 Le processus est terminé car tous les termes de la fonction économique sont négatifs. Le programme optimum est donc de 1 28x et 2 16x pour un résultat de : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 10/36 EXERCICE 4. Niveau : Gymnase (Lycée) Auteur : Vincent Isoz (isozv@hotmail.com) Mots-clés : recherche opérationnelle, optimisation budget Enoncé : Soit le tableau ci-dessous dans MS Excel : Auquel correspondent les formules ci-dessous : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 11/36 Comment répartir équitablement sur les cellules B12 à E12 les 40 000 Francs (valeur à saisir dans les contraintes pour la cellule F12) de budget pour optimiser (maximiser) au mieux les bénéfices (cellule G16) ? Solution : Pour résoudre cet exercice il suffit de lancer le solveur et d'y saisir : Afin d'obtenir le résultat ci-dessous : Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 12/36 Sciences.ch Recherche opérationnelle Serveur d'exercices 13/36 EXERCICE 5. Niveau : Université (Fac) Auteur : Bertrand Julien Mots-clés : recherche opérationnelle, analyse de charge Enoncé : Une société fabrique trois types de pièces. Le processus de fabrication pour chaque produit nécessite le passage par trois types de machines. L'ordre de passage par machine est le suivant: - Machine 1: pour les opérations de découpe du métal - Machine 2: pour les opérations de roulage - Machine 3: pour les opérations de soudage Les trois ateliers sont regroupés par technologie et comprennent chacun un seul type de machines. Les capacités nettes respectives de ces trois ateliers sont: - pour l'atelier de découpage: 10'000 heures par mois - pour l'atelier de roulage: 7'000 heures par mois - pour l'atelier de soudage: 5'000 heures par mois Les marges dégagées par ces trois produits sont de 0.30.- par pièces de type 1 appelé P1, 0.40.- par pièces P2, 0.20.- par pièce P3. Les temps unitaires de fabrication par produit et uploads/Science et Technologie/ applications-excel-avec-correction.pdf