Pr. M.D. MOUSS 1 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Aut

Pr. M.D. MOUSS 1 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Pr. M.D. MOUSS 2 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP ANOVA ANalyse Of VAriance Position du problème : Exemple introductif : On veut connaître l’effet de trois types de fertilisants sur la croissance des arbres d ’une plantation On veut connaître l’effet de la race des vaches laitière sur la production laitière de ces vaches Les domaines d’études sont variés. L’ANOVA s ’applique dès que : on veut monter une expérimentation on veut vérifier l ’effet de variables qualitatives sur une variable quantitative Pr. M.D. MOUSS 3 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Variable d’interet (variable dépendante). En cm/an Autre exemple Rendement production laitière Taux de virus dans le sang extraire 3 échantillons (groupes) d ’arbres et appliquer chaque fertilisant pour chaque échantillon : comparer ensuite les moyennes de croissance annuelle des arbres Facteur (variable indépendante). Type de fertilisant Autre exemple Race des vaches Traitement médical Pr. M.D. MOUSS 4 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Principe statistique Population originelle Sou- pop3 Sou- pop2 Sou- pop1 Echantillon 3 Echantillon 2 Echantillon 1 Indicateur mesuré sur la variable indépendante   Pr. M.D. MOUSS 5 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Question ? Pourquoi ne pas faire de multiples tests t? Par exemple pour 3 groupes (A-B-C), on aura 3 comparaisons (A-B, B-C, A-C), 3 tests t : Il y a rapidement trop de comparaisons à faire. La solution ANOVA  Analyser toute la variance.  Classer la variance en catégories et comparer les catégories.  Deux catégories principales: la variance entre les groupes (variance intergroupe) la variance à l’intérieur des groupes (variance intra-groupe) Pr. M.D. MOUSS 6 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP La problématique de l ’ANOVA consiste à utiliser les moyennes observées sur les échantillons pour conclure à des différences significatives sur les moyennes (espérance mathématique) dans les sous-populations Hypothèses stochastiques les échantillons sont issus d’une population normale (gaussienne) : on parle de test paramétrique les variances conditionnelles (variances dans chaque sous- population) sont identiques : homoscédasticité les sous-échantillons sont indépendants Pr. M.D. MOUSS 7 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Présentation des données Deux types de tableaux sont disponibles : a) Adaptés pour la compréhension du problème et les calculs « à la main » Etudier la puissance des véhicules selon le type de carburant utilisé « Puissance » Variable d’intérêt Facteur qui prend deux modalités (essence, diesel) Pour chaque modalité du facteur, on dispose des observation de la variable d’intérêt ( 9 voitures essence, 5 voitures diesel) ESSENCE DIESEL 111 64 111 72 154 123 102 123 115 123 110 110 110 140 Pr. M.D. MOUSS 8 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP b) Que l ’on retrouve sur la plupart des logiciels de statistique Puissance Carburant 111 Essence 111 Essence 154 Essence 102 Essence 115 Essence 110 Essence 110 Essence 110 Essence 140 Essence 64 Diesel 72 Diesel 123 Diesel 123 Diesel 123 Diesel On dispose de la liste des observation, à chaque ligne (observation ) on observe la valeur prise par la variable d’intérêt et la valeur prise par le facteur Pr. M.D. MOUSS 9 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP La variance intergroupe Mesure de la variance entre les moyennes de groupes et entre celles-ci et la moyenne totale. Pr. M.D. MOUSS 10 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP La variance intra-groupe Mesure de la variance entre les observations et leur moyenne de groupe. Pr. M.D. MOUSS 11 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Les types de variations Variation inter-échantillon : Elle est due aux écart entres les moyenne de chaque échantillon et la moyenne générale et qui traduit l’effet du facteur : Variation Factorielle Variation intra-échantillon : Elle cumule les écart de chaque valeur individuelle da la variable à leur moyenne d’échantillon . Cette dispersion provient des fluctuation aléatoire d’échantillonnage: Variation Résiduelle A B  xA1 xA2 xB1 xB2 Variation intra Variation inter Variation total Pr. M.D. MOUSS 12 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Schématiquement nous aurons sur un exemple à 3 échantillon Variabilité totale au sein de l'expérience : Elle reflète les écarts de tous les individus par rapport à la moyenne générale de l'expérience. Degrés de liberté (DDL) associés : n-1. Expérience : p (dans ce cas 3) échantillons n: taille de la population d’étude. SCET Pr. M.D. MOUSS 13 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Schématiquement nous aurons sur un exemple à 3 échantillon Variabilité résiduelle: Elle reflète l'importance des variations individuelles dans chaque échantillon. Degrés de liberté (DDL) associés : n-p. Variabilité factorielle : Elle reflète les écarts des moyennes des échantillons par rapport à la moyenne générale de l'expérience. Degrés de liberté (DDL) associés : p-1. SCEF SCER Pr. M.D. MOUSS 14 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Position du Problème et notation Population :P Subdivision en sous population P1, P2,……. Pp, Facteur à étudier :A Ayant n modalité A1, A2,……. Ap, Variable d’intérêt :X Ayant une moyenne ce qui donne dans chaque sous population 1, 2,……. p, Echantillon :E Subdivision en sous échantillon E1, E2,……. Ep, et de taille n1, n2,……. np On détermine pour ces échantillons les moyennes empiriques Pr. M.D. MOUSS 15 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP L’ANOVA consiste à construire le test d’hypothèse Le facteur A n’a aucune influence sur la variable dépendante Sur l’échantillon nous pouvons calculer alors : Moyenne Conditionnelle ( pour chaque facteur) Moyenne Globale (tous Facteur confondus) Pr. M.D. MOUSS 16 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Parallèlement à la présentation théorique traitons un exemple concret : Présentation : Nous allons comparer 3 machines dont l’action est de remplir des flacons . On prélève sur chaque machine un échantillon aléatoire de la production obtenue au cours de 5 périodes différentes ( On pose la Variable Aléatoire : X = volume du flacon).Les données sont représenté sur le tableau suivant Machine 1 Machine 2 Machine 3 47 55 54 53 54 50 49 58 51 50 61 51 46 52 49 245 280 255 Pr. M.D. MOUSS 17 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Moyenne Conditionnelle( pour chaque facteur) Moyenne Globale (tous Facteur confondus) Pr. M.D. MOUSS 18 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Variation Totale Variation Interclasses Variation Intra-classes + Écart à la moyenne global Écart entre les groupes (définis par les facteurs) Écart à l’intérieur des groupes Pr. M.D. MOUSS 19 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP SCT: Somme des carré totaux Exprime la variabilité totale des observation SCE: Somme des carré expliqués Exprime la variabilité expliquée soit la variation que le facteur explique SCR: Somme des carré résiduels Exprime la variabilité résiduelle soit la variation que le facteur n’arrive pas à expliquer Pr. M.D. MOUSS 20 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP SCEF SCER Pr. M.D. MOUSS 21 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP TABLEAU DE L’ANOVA Variation SCE ddl CM F Factorielle Résiduelle Totale Pour notre exemple Variation SCE ddl CM F Factorielle 130 2 75 Résiduelle 94 12 47 Totale 224 14 56 Pr. M.D. MOUSS 22 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Prise de décision La variable F représentant le rapport : suit une distribution de de Fisher de ddl: 1 : ddl du numérateur soit p-1 . 2 : ddl du dénominateur soit n-p . On rejette l’hypothèse H0 si F est supérieur à la valeur donné par le seuil de signification choisit : H0 rejeté si Pr. M.D. MOUSS 23 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Pour notre exemple 1 : ddl du numérateur soit p-1 = 3-1 2 2 : ddl du dénominateur soit n-p = 5-3=2 Décision : Comme F = 9.58 < 19.00 . On adopte alors H0 Pr. M.D. MOUSS 24 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Exemple Pour étudier l’influence du facteur « intensité du bruit environnant » sur la capacité d’un sujet à résoudre un problème. On prend 24 sujet répartis en 4 groupes. Ces 24 sujets passent un contrôle, chaque groupe dans uns salle avec un niveau sonore différent diffusé dans chaque salle. La note à l’épreuve constitue la variable réponse. Nous obtenons les données suivante -Niveau sonore désigné par 1-2-3et 4 -Les groupes sont constitués par 4, 8 6 et 6 individus Note Niveau sonore 1 2 3 4 62 56 63 68 60 62 67 66 63 60 71 71 59 61 64 67 63 65 68 64 66 68 63 59 Pr. M.D. MOUSS 25 Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Laboratoire d’Automatique et Productique LAP Le tableau des calculs donne: Note Niveau sonore 1 2 3 uploads/Science et Technologie/ chapitre-8-cours-ps-anovae.pdf

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