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Nom : CHAU Licence de Sciences ´ Economiques Pr´ enom : St´ ephane Math´ ematiq

Nom : CHAU Licence de Sciences ´ Economiques Pr´ enom : St´ ephane Math´ ematiques L1 Horaire du groupe de TD : Ann´ ee 2007-2008 CONTRˆ OLE CONTINU 1 Exercice 1. On consid` ere la fonction ` a variable r´ eelle f : x 7→ 4x x + 7. (1) Donner le domaine de d´ eﬁnition de f. Le domaine de d´ eﬁnition de f est donn´ e par Df = R −{−7}. (2) Montrer que 4 est la seule valeur non atteinte par f. Soit y ∈R. Si y est atteint par f alors l’´ equation y = f(x) d’inconnue x admet une solution. Or : y = f(x) ⇐ ⇒ y = 4x x + 7 ⇐ ⇒ y(x + 7) = 4x ⇐ ⇒ xy + 7y = 4x ⇐ ⇒ x(y −4) = −7y ⇐ ⇒ x = −7y y −4 (3) La fonction f est-elle injective ? Est-elle surjective ? Est-elle bijective ? La fonction f est injective car tout ´ el´ ement y dans R (qui l’ensemble d’arriv´ ee) admet soit z´ ero ant´ ec´ edent (si y = 4) soit un ant´ ec´ edent (si y ̸= 4). En revanche f n’est pas surjective car, par exemple, y = 4 n’a pas d’ant´ ec´ edent. Enﬁn, f n’est pas bijective car elle n’est mˆ eme pas surjective. (4) On consid` ere ` a pr´ esent la fonction f : R −{−7} →R −{4} d´ eﬁnie par x 7→f(x) = 4x x + 7. On admet que f est bien d´ eﬁnie et bijective (on ne demande pas de le d´ emontrer). Donner la fonction r´ eciproque f −1 de f (sans oublier les ensembles de d´ eﬁnition et d’arriv´ ee). La question 2 permet imm´ ediatement de donner explicitement la fonction r´ eciproque f −1 de f. On a f −1 : R−{4} →R−{−7} et cette fonction est d´ eﬁnie par y 7→f −1(y) = −7y y −4. 1 uploads/Science et Technologie/ controle-continu-1-v1-stephane.pdf