INPTIC Année 2022-2023 MMI1-CULTURE SCIENTIFIQUE - Mme NYANGUI Fonctions Usuell

INPTIC Année 2022-2023 MMI1-CULTURE SCIENTIFIQUE - Mme NYANGUI Fonctions Usuelles On appelle fonctions usuelles les fonctions qui sont su samment utilises pour qu'on leur donne un nom et qu'on connaisse par coeur leurs propriétés élémentaire. La liste des fonctions usuelles dépend donc de l'usage qu'en fait la personne et donc du domaine des sciences considérer. 0.1 Polynômes Réels P : x ∈R 7− →anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x1 + a0 avec n ∈N et ai ∈R pour tout i. Si on a bien an ̸= 0, on dit que n est le degré du Polynôme P. On note Rn[x] l'ensemble des Polynômes de degré au plus n. 0.1.1 Étude théorique 1. Ensemble de dé nition Dans le cas des Polynômes, l'ensemble de dé nition est R 2. Parité , périodicité De facon générale, la parité d'une fonction polynômiale dépend de la parité des exposants de cha- cun de ses termes. Une fonction polynômiale est paire si chacun de ses termes est de degré pair. Une fonction polynômiale est impaire si chacun de ses termes est de degré impair. 3. Ensemble de dérivabilité Proposition 0.1.1.  Tout polynôme est dérivable sur R : en d'autres termes, le domaine de dérivabilité d'un polynôme est R. Soit anxn + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x1 + a0 un polynôme  ∀x ∈R, P ′(x) = nanxn + (n −1)an−1xn−1 + · · · + 2a2x2 + a1 4. Signe de la dérivée et Tableau de variation Exemple 0.1.2. Soit f : R 7− →R f(x) = 2x2 −x −1 0.1.2 Application numérique : Recherche des extremums Cette section se fera sur MatLab , avec l'algorithme de Newton. Par la Méthode de NEWTON La méthode de Newton est une méthode de résolution de l'équation f(x) = 0 , attention à la dié- rence avec le théorème du point xe qui permet de résoudre numériquement f(x) = x.  Recherche d'un extremum ( x0 ∈Df xk+1 = xk −f(xk) f ′(xk)  Recherche d'un minima :Soient Max l'extremum et min le minima ; min = −Max 0.2 Fonction puissance f : x ∈]0, +∞[7− →xα = expα ln x Sa dérivée : si x > 0, f(x) = αxα−1 Quelque formules : x−α = 1 xα xαxβ = xα+β (xα)β = xαβ 0.3 La fonction logarithmique x ∈[0, +∞[7− →ln x Sa dérivée : d dt ln x = 1 x Variation Particuliéres : ln 1 = 0 ln e = 1 Formules : ln(ab) = ln(a) + ln(b); ln(ak) = k ln a; ln(a/b) = ln a −ln b 0.4 Foncyions exponetielle x ∈R 7− →expx Sa dérivée : d dt expx = expx Variation Particuliéres : exp0 = 1 Formules : expa+b = expa + expb; expka = expk(a); exp−a = 1 expa 0.5 Foncyions Trigonométriques sin x cos x tan x Les fonctions sinus et cosinus sont de classe C∞ sur R. La fonction tangente n'est pas dé nie en x = π 2 [π] et est de classe C∞ ailleurs. En mathématique, l'angle x est en radian et on fera attention que les dérivées et primitives connues sont valables dans ce cadre. Si x est mesuré en degré, on se raménera á sin( π 180x) pour retrouver les calculs mathématiques usuels. Dérivées : d dt cos x = −sin x d dt sin x = cos x d dt tan x = 1 + tan2 x = 1 cos2 x 0.6 Exercices d'apllication Exercice 1 : On donne la fonction f dé nie sur R par f(x) = cos 2x −2 cos x et on note (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1. (a) Montrer que f est 2π - périodique. (b) Montre que f est paire 2. (a) Montrer que la fonction dérivée de f s'ecrit : f ′(x) = 2 sin x(1 −2 cos x) (b) Etudier le signe de f ′ sur [0; p] 3. Dresser le tableau de variations de f sur [0; p] 4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π. Exercice 2 : On donne la fonction f dé nie sur R par : f(x) = −x4 + 2x2 + 1. On appelle G la courbe représen- tative de f dans un repère orthonormé (O ;i,j). 1. Etudier la parité 2. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de dé nition 3. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe 4. Dresser le tableau de variations de f 5. Tracer la courbe représentative de f Exercice 3 : Ecrire á l'aide du symbole les sommes suivantes : 1. 23 + 24 + 25 + · · · + 212 2. 1 2 + 2 4 + 3 8 + · · · + 10 1024 3. 2 −4 + 6 −8 + · · · + 50 4. n + (n + 1) + · · · + 2n Exercice 4 : 2n−1 X k=n+1 ln(sin(kπ 2n)) = n−1 X k=1 ln(sin(kπ 2n)) uploads/Science et Technologie/ fonctions-usuelles-td.pdf

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