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Outils pour la robustesse : in´ egalit´ es matricielles aﬃnes (Notes de cours)

Outils pour la robustesse : in´ egalit´ es matricielles aﬃnes (Notes de cours) Master-2 Recherche Sciences de l’Automatique et du Traitement du Signal Universit´ e d’Orsay SUPELEC G´ erard Scorletti U.F.R. de Sciences, Universit´ e de Caen GREYC Equipe Automatique 6, Boulevard du Mar´ echal Juin 14050 Caen Cedex e-mail : scorletti@greyc.ensicaen.fr tel : 02.31.45.27.12 c ⃝G´ erard Scorletti, France, 2006 http ://www.greyc.ensicaen.fr/EquipeAuto/Gerard S/DEA opti Supelec.html 6 f´ evrier 2006 2 Version Provisoire du 6 f´ evrier 2006 “The control theoreticians role may be viewed as one of developing methods that allow the control engineer to make assumptions which seem relatively natural and physically motivated. The ultimate question of the applicability of any mathematical technique to a speciﬁc physical problem will always require a “leap of faith” on the part of the engineer and the theoritician can only hope to make this leap smaller”, John Doyle [10]. “Principle (Simple Case First) Consider ﬁrst only the very simplest problem - but strive for a representation of the simplest problem which generalizes easily”, Safonov [37] Table des mati` eres 1 Introduction 5 2 Fonctions, ensembles et optimisation convexes 15 2.1 Probl` eme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Exercice : optimisation (quasi) convexe ou pas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Probl` eme d’optimisation avec C non convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Optimisation LMI 23 3.1 Probl` emes d’optimisation sous contraintes LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Probl` eme de Faisabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Probl` eme de minimisation d’une fonction de coˆ ut lin´ eaire . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Minimisation de la valeur propre g´ en´ eralis´ ee maximale . . . . . . . . . . . 30 3.2 Probl` emes d’optimisation LMI particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Exercice : Optimisation sur des variables de d´ ecisions “discr` etes” . . . . . . . . . . 33 3.4 Notions sur la r´ esolution de probl` emes sous contraintes LMI . . . . . . . . . . . . 34 3.4.1 Minimisation d’un coˆ ut lin´ eaire sous contraintes LMI . . . . . . . . . . . . 34 3.4.2 Recherche d’un point faisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5 Au del` a des contraintes LMIs : les contraintes BMIs . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.6 A la recherche de la LMI cach´ ee... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.6.1 R` egles de transformation si F(ξ) n’est pas une fonction aﬃne en ξ . . . . . 38 3.6.2 R` egle de transformation quand x ∈X(ξ) avec X(ξ) ⊂Rn et X(ξ) ̸= Rn . . 41 3.6.3 Exercice : mise sous forme de probl` emes d’optimisation LMI . . . . . . . . 43 4 Formulation de probl` emes d’Automatiques sous forme de probl` emes d’optimi- sation LMI : exemple de la synth` ese H∞ 45 4.1 Synth` ese de correcteur H∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Synth` ese d’un correcteur H∞par retour d’´ etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3 Lien (´ ebauche) avec la solution par ´ equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Synth` ese H∞par retour de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5.1 Correcteur avec eﬀet int´ egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5.2 Rejet de perturbation mesur´ ee avec une certaine dynamique . . . . . . . . 55 3 4 Version Provisoire du 6 f´ evrier 2006 5 Formulation de probl` emes d’Automatiques sous forme de probl` emes d’optimi- sation LMI : au-del` a des syst` emes lin´ eaires stationnaires 57 5.1 Syst` emes ` a param` etres variant dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2 Analyse de la stabilit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.3 Exemple d’application sur un missile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6 Annexe A : rappels sur les matrices 63 6.1 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.1.1 Cas des matrices carr´ ees et r´ eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7 Annexe B : Ensembles convexes particuliers 69 7.1 Ellipso¨ ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 Poly` edres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8 Annexe C : TD sur l’analyse et la commande par LMI, Matlab et la LMI control toolbox 73 8.1 Calcul de la norme H∞d’une fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.2 LMI et µ-analyse : des crit` eres graphiques ` a l’optimisation . . . . . . . . . . . . . 79 Chapitre 1 Introduction L’optimisation est la branche des Math´ ematiques consacr´ ee ` a l’´ etude du (ou des) minimum(s)/ma- ximum(s) d’une fonction ` a plusieurs variables sur un certain domaine de d´ eﬁnition, de l’´ etude de leur existence ` a leur d´ etermination, en g´ en´ eral par la mise en œuvre d’un algorithme sur un calculateur. On peut s’interroger sur l’int´ erˆ et r´ eel d’un tel cours dans un master en Sciences de l’Ing´ enieur, fˆ ut-il un master recherche. S’agit-il d’un cours joliment acad´ emique propre ` a ﬂatter l’ego de l’enseignant-chercheur qui le dispense ? S’agit-il encore d’un cours pr´ esentant un domaine prospectif agitant une fraction du milieu de la recherche en Sciences de l’Ing´ enieur et qui, peut-ˆ etre, dans un futur proche ou lointain, correspondra ` a une uploads/Science et Technologie/ cours-dea-supelec-lmi-2006.pdf