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Vil Coyote rattra- pera-t-il Bip - Bip ? Un exemple d’introduction de fonctions

Vil Coyote rattra- pera-t-il Bip - Bip ? Un exemple d’introduction de fonctions à partir d’une situation concrète Claire Cazes LDaR, UPMC Fabrice VanDebRoUCk LDaR, Université Paris Diderot REPERES - IREM. N° 95 - avril 2014 chargé, avec des collègues de Prague, de conce- voir et expérimenter des ressources liées à l’enseignement des fonctions et de la modé- lisation fonctionnelle en mathématiques. Notre équipe a travaillé à la mise au point d’un scénario de formation aux technologies, basé sur la déclinaison de plusieurs familles de situations mathématiques où interviennent les fonctions. Ainsi, des exemples classiques en Fran- ce d’intersections de courbes et d’optimisa- tions d’aires géométriques ont été abordés. Le travail avec l’équipe tchèque a permis de tra- vailler d’autres types de situations pour appré- hender les fonctions sous d’autres approches, Cet article, s’appuie sur une recherche action qui vient de se terminer dans le cadre d’un projet Européen 1 auquel participait l’Irem de Paris. La recherche a associé 18 partenaires (9 universités et 9 établissements d’enseigne- ment secondaire) de 6 pays différents (Fran- ce, Italie, Allemagne, Angleterre, Pays Bas, Tché- quie). Le projet consistait en la conception collaborative, l’expérimentation et la mise en ligne de ressources pour la formation des ensei- gnants à l’usage des technologies dans la clas- se de mathématiques. L’Irem de Paris, associé au lycée Jacques Prévert de Taverny (95) était 1 Résumé : Le travail présenté dans cet article est issu du projet européen Comenius. Il présente un scénario sur un temps long (8 séances) visant l’apprentissage des fonctions L’originalité du scénario est de partir de situations réelles, ici des vidéos, de chercher à les modéliser puis à les simuler avec GeoGebra. La simulation permet à la fois de réinvestir les connaissances acquises sur les fonctions linéaires et affines et d’introduire de manière originale la fonction inverse et ses propriétés globales et asymptotiques. Les résultats d’observation conduisent à une analyse fine des difficultés rencontrées par les élèves et de la manière de les aider. 1 www.edumatics.eu Cet article est également consultable en ligne sur le portail des Irem (onglet : Repères Irem) : http://www.univ-irem.fr/ REPERES - IREM. N° 95 - avril 2014 2 VIl CoyotE RattRa- PERa-t-Il BIP-BIP ? moins traditionnelles que dans l’enseignement français. En effet, l’idée de nos partenaires tchèques était de travailler sur la modélisation de situations réelles, ici des poursuites, en vue d’une approche intuitive de la relation fonc- tionnelle. Par poursuites, nous entendons des situa- tions réelles où un prédateur ou chasseur pour- chasse un poursuivi ou proie. Ces situations peuvent se décliner en pluralité de problèmes mathématiques, suivant les caractéristiques des mouvements de chacun des acteurs (trajec- toires, vitesses…) et suivant les questions que l’on se pose : y a-t-il capture ou non ? Si oui, en combien de temps ? Le contexte tchèque était différent du nôtre pour travailler à partir de telles situations, car ils travaillaient avec des ensei- gnants d’élèves de 12-13 ans alors que nous tra- vaillions avec des collègues de lycée. Ce n’est donc pas seulement des approches intuitives que nous avons dû développer en partant de ces situa- tions de poursuites. Nous avons cherché à concevoir et expé- rimenter, un scénario long 2 à destination des élèves et répondant aux contraintes suivantes : (i) Le scénario s’appuie sur l’observation de situations réelles de poursuites ; (ii) Le scénario vise un apprentissage des fonc- tions ; (iii) Le scénario utilise avec profit les techno- logies ; (iv) Le scénario s’inscrit dans les programmes actuel- lement en vigueur en classe de seconde. Pour rentrer dans le cadre du projet Edu- matics, nous avons ensuite choisi d’utiliser GeoGebra comme technologie pour faire pro- duire aux élèves des simulations des poursuites. Le pari des chercheurs était que ce détour per- mettrait de travailler les fonctions, en quelque sorte, de manière naturelle et efficace. Le scé- nario a été expérimenté dans le cadre d’un module MPS 3 au printemps 2011, en classe de seconde, au lycée Jacques Prévert. C’est cette expérimentation que nous avons observée et sur laquelle nous axons cet article. Le premier paragraphe situe le question- nement à partir de la mise en place des situa- tions de poursuites. Les trois paragraphes sui- vants exposent les étapes du déroulé du scénario et les analyses afférentes. Enfin le dernier para- graphe dégage des éléments de réponses aux ques- tions posées. 1. — Problématique 1. 1 L’apprentissage des fonctions Les fonctions 4 sont des objets complexes. Elles peuvent intervenir dans de nombreux cadres, comme outil ou comme objet (Douady, 1986). En outre, les fonctions se représentent dans plusieurs registres (Duval, 1991) : numé- rique, graphique, algébrique mais aussi symbolique et formel dans un second temps. L’apprentis- sage de la notion requiert la rencontre et la mise en fonctionnement de ces différents registres avec des activités de traitement et de conversion entre les différents registres de représentations. Les fonctions ont enfin plusieurs aspects (Bloch 2002, Maschietto 2001, Chor- lay 2011, Vandebrouck 2011) : ponctuel, glo- bal, local plus ou moins valorisés selon les représentations utilisées. Au niveau du lycée, l’articulation d’activités mettant en jeu les aspects ponctuels et les aspects globaux des fonc- tions est aussi supposée contribuer à l’appren- tissage de la notion, que ce soit dans des phases de réinvestissement, qui favorisent la disponi- bilité de la notion de fonction, que dans des phases de découverte des fonctions. 2 huit séances. 3 Méthodes et pratiques scientifiques. 4 Numériques d’une variable réelle. REPERES - IREM. N° 95 - avril 2014 3 VIl CoyotE RattRa- PERa-t-Il BIP-BIP ? 1.2 L’utilisation des simulations dans l’enseignement des mathématiques Les simulations sont employées quoti- diennement, dans tous les domaines de la scien- ce et notamment les mathématiques. Elles entrent maintenant dans les programmes de l’ensei- gnement secondaire, notamment avec le recours de plus en plus fréquent aux technologies dans l’activité mathématique en classe 5. C’est pour ces raisons que nous avons souhaité profiter de ce travail sur les poursuites pour concevoir des situations de classes dans lesquelles les élèves auraient à produire et utiliser des simulations. De nombreux articles ont déjà relaté des expé- rimentations en classe dans lesquelles les simu- lations sont au cœur des activités des élèves. Ces articles peuvent concerner l’enseignement des probabilités (Parzysz, 2009, Henry, 2011) et dans ce cas, comme l’explique Henry « Il faut comprendre le statut de la simulation : à partir d’un protocole expérimental, on dégage des hypothèses de modèle et on programme une simu- lation de ce modèle. Les données expérimen- tales seront confrontées aux résultats de cette simulation pour adopter ou rejeter ce modèle ». Dans ce cas la simulation est numérique, elle est postérieure au modèle et sert à le tester. Dans un autre ordre d’idée, Aldon (2011) présente deux expériences en classes de première et terminale S. Il relate notamment des travaux d’élèves en laboratoire, la simulation de la mesure d’une distance entre deux villes sur la Terre étant opérée grâce à une boule modéli- sant la Terre. Il conclut « les allers retours entre les expériences (…) les notions mathé- matiques sous-jacentes, les simulations effec- tuées sur machine ou la mise en perspective des modèles mathématiques ont permis de construi- re des connaissances des objets mathématiques en leur donnant successivement des statuts dif- férents d’outils et d’objets ». Les deux exemples précédents illustrent l’existence de différents types de simulation. Pour un essai de typologie dépassant le cadre de la didactique des mathématiques, on pourra consul- ter Varenne (2008). Le type de simulations qui nous intéresse ici est celui des simulations d’un système d’agents 6. En toute généralité, un sys- tème multi-agents est composé d’un ensemble d’agents (êtres humains, robots, objets…) qui interagissent selon certaines règles dans un environnement qui lui-même agit ou réagit. Dans notre cas, le système d’agents sera le couple (poursuivi / poursuivant) et leurs inter- actions seront très limitées : le poursuivi fuira le poursuivant en ligne droite et, au mieux, le poursuivant adaptera sa poursuite aux posi- tions instantanées du poursuivi. L’environne- ment quant à lui sera inerte. Le passage par des simulations avec Geo- Gebra n’est pas obligé. Il s’agit d’un passage artificiel, introduit volontairement, afin de tra- vailler des connaissances sur les fonctions qui peuvent passer inaperçues dans une résolution directe. Il faut savoir si « ça vaut le détour ». 1.3 L’activité de modélisation Le processus de modélisation a été étudié dans le contexte de la didactique des mathématiques (Maaβ 2006, Borromeo-Ferri 2006, Kuzniak, Par- zysz et Vivier 2008, Kuzniak et Parzysz, 2011). 5 Extraits du programme de seconde, BO n°30, 23/7/09: « L’utilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), d’outils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité d’expérimenter, ouvre largement la dialectique entre l’observation et la démonstration et chan- ge profondément la nature de l’enseignement. », «dans le cadre de l’échantillonnage : faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en œuvre d’une simulation » 6 À côté de ces types de simulations, on pourra s’intéres- ser aux « automates uploads/Science et Technologie/ math-fonction-avec-application-concrete 1 .pdf