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الجمهوريـــــة الجزائريـــــة الديمقراطيــــة الشعبيــــة République Algérienne

الجمهوريـــــة الجزائريـــــة الديمقراطيــــة الشعبيــــة République Algérienne Démocratique et Populaire وزارة التـعليـــــم العالــــــي و البحــــث العلمــــــــي Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique المركـــــز الجامــــعي بوشعيــــب بلحـــاج عين ت ي موشنت Centre Universitaire Bouchaib Belhadj -Ain Témouchent- Institut des Sciences et de la Technologie Département de Génie de l’Eau et de l’Environnement Cours Mathématique \Statistique Chargé du module H. BELARBI Cours Mathématiques Statistiques Intitulé du domaine Science et technologie Année 1er Année Master Annuel ou semestriel Semestriel Volume horaire global 36 heures (12 semaine) 1h30/semaine Cours 1h30/semaine TD Nombre de crédits 2 Mode d’évaluation 50/50 Table de matières Table des tableaux Table des figures Liste des abréviations Cours Mathématiques Statistiques Introduction Problématique Objectifs du cours Chapitre 1 POPULATION ECHANTILLON Caractéristiques de l’échantillon Echantillonnage Aléatoire Déduire Chapitre 1 Vocabulaire de base 1.1. Introduction Dans l’étude de phénomènes portant sur un nombre important de personnes, animaux, d’objets, etc, on ne peut pas avoir accès à tous les résultats possibles pour l’ensemble de la population. Le rôle des statistiques est de rendre compte le mieux possible de la composition de toute la population à partir d’un nombre restreint d’observations qui constituent un échantillon. La statistique est un outil scientifique qui permet : - de recueillir des données “brutes”; - d’organiser, classer, présenter et résumer ces données ; - de recherche de liens entre données (régression) ; - de tirer des conclusions sur la population étudiée (sa structure, sa composition), d’aider à la prise de décision judicieuses; en présence de données dépendant du temps, de faire de la prévision. Par définition la statistique est une méthode scientifique du traitement de données. En distingue généralement : 1.1.1 Statistique déductive ou descriptive Elle a pour but de résumer et de présenter les données observées sous la forme la plus accessible (simplification et réduction des données, à la fois visuelle et conceptuelle); Les statistiques descriptives peuvent se résumer par le schéma (Figure 1.1) suivant : Figure 1.1 : Représentation schématique de la statistique descriptive Echantillon Population Inférence 1.1.2 Statistique inductive ou inférence statistique C’est l’ensemble des méthodes permettant de formuler en termes probabilistes un jugement sur une population, à partir des résultats observés sur un échantillon extrait au hasard de cette population. Les méthodes statistiques les plus classiques sont celles de l’estimation (estimation par domaine de confiance) et celles de tests d’hypothèses (Figure 1.2). Figure 1.2 : Représentation schématique de la statistique inductive 1.2. Population individu et échantillon La population statistique est l’ensemble des éléments sur lesquels porte l’étude. Exemple : - Les véhicules automobiles immatriculés en Algérie ; - Les salaries d’une entreprise ; - Les habitants d’un quartier, etc. Remarque 1. La population doit-être définie avec précision. C’est totalement différent de considérer ; - Les étudiants ; - Les étudiants de 12-25 ans - Les étudiants de département de Génie de l’eau et de l’environnement 2. La population doit-être homogènes au regard des caractères étudies. Les éléments de la population sont appelés individus statistiques ou unités statistiques (ou objet). Exemple : - Mois d’une année ; - Pièce produits par une usine; - Résultats d’expérience répétés un certain nombre de fois, etc. Population Echantillon Individus Donc, si la population comporte N individus, on noteraΩ={ωi,…,ωN}, avec ωi désignant pour i variant de 1 à N les individus qui les composent. Un échantillon est un sous ensemble formé de n individus de la population (n≤N¿. Le nombre d’individus statistiques ou d’unités statistique détermine la taille de l’échantillon. Exemple : - L’échantillon des véhicules automobiles immatriculés dans la wilaya d’Ain- Temouchent ; Remarque On dira qu’un échantillon est exhaustif lorsque la taille est celle de la population. Par exemple, en hydro-climatologie, les populations sont généralement infinies et par conséquent, les échantillons sont non exhaustifs. 1.3. Echantillonnage statistique Pour recueillir des informations sur une population statistique, l’on dispose de deux méthodes : - Méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le ou les caractères étudiés ; - Méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à d’examiner qu’une fraction de la population, un échantillon. 1.3.1. Définition L’échantillonnage représente l’ensemble des opérations qui ont pour objet de prélever un certain nombre d’individus dans une population donnée. Pour que les résultats observés lors d’une étude soient généralisables à la population statistique, l’échantillon doit être représentatif de cette dernière. 1.3.2. Echantillonnage aléatoire simple Seul l’échantillonnage aléatoire assure la représentativité de l’échantillon. Un échantillon est qualifié d’aléatoire lorsque chaque individu de la population a une probabilité connue et non nulle d’appartenir à l’échantillon. L’échantillonnage aléatoire simple est une méthode qui consiste à prélever au hasard et de façon indépendante n individus ou unités d’échantillonnage d’une population à N individus. Chaque individu possède ainsi la même probabilité de faire partie d’un échantillon de n individus et chacun des échantillons possibles de taille n possède la même probabilité d’être constitué. Ainsi, l’échantillonnage aléatoire simple assure l’indépendance des erreurs, c’est-à- dire l’absence d’auto-corrélations parmi les données relatives à un même caractère. Cette indépendance est indispensable à la validité de plusieurs tests statistiques. Remarque Il existe d’autre technique d’échantillonnage comme l’échantillonnage systématique ou l’échantillonnage stratifié 1.4. Caractères (critéres) et variables (variates) statistiques C’est la propriété ou l’aspect particulier que l’on se propose d’observer dans la population ou l’échantillon. Un caractère qui fait le sujet d’une étude porte aussi le nom de variable statique. Chaque individu d’une population peut être décrit relativement à un ou plusieurs caractères ou variables statistiques. Il existe deux types de caractères. 1.4.1. Caractère qualitatif Un caractère est dit qualitatif, s’il est repérable sans être mesurable. Exemple : - Etat civil de l’employé ; - Lieu de naissance ; - Etat d’une maison, etc. 1.4.2. Caractère quantitatif Un caractère est dit quantitatif, s’il est mesurable. Exemple : - Le salaire des employés ; - Le poids ; - Nombre de pièces, etc. Dans l’utilisation que nous ferons de la statistique, nous aurons toujours affaire à des caractères quantitatifs. A. Discret (ou discontinu) Il est discontinu, s’il prend que des valeurs isolées les unes des autres. Autrement dit ; un caractère quantitatif discontinu qui ne prend que des valeurs entières est dit discret. Exemple : - Le salaire des employés ; - Nombre d’enfants ; - Nombre de pièces d’une maison, etc. B. Discret (ou discontinu) Il est dit continu lorsqu’il peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle fini ou infini. Exemple : - Diamètre de pièces ; - Surface ; - Altitude, etc. Remarque Lorsque la variable statistique continue, les données sont regroupées par classes, c’est-à-dire par intervalles¿ xi−α i, xi+αi ¿¿, Le nombre xi est le centre de la classe. L’amplitude de la classe est un compromis : la valeur α i doit être assez petite pour conserver une information suffisante, mais assez grande pour avoir des données condensées et des calculs raisonnables. Les classes sont aussi notées ¿ xi−1, xi¿¿ lorsqu’on s’intéresse plus précisément aux extrémités. C. Modalité Le caractère désigne une grandeur ou un attribut, observable sur un individu et susceptible de varier prenant ainsi différents états appelés modalités. Exemple : Le caractère sexe à deux modalités : Masculin et féminin Le caractère couleur des yeux peut prendre comme Modalités : Noir, Marron, Bleu,… Les modalités d’un caractère doivent être incompatibles et exhaustives, tout individu doit présenter une et une seule modalité. Exhaustives à chaque individu doit correspondre une modalité du caractère ; Exemple : Enquête sur l’état matrimonial d’un groupe d’individu. Pour satisfaire la condition d’exhaustivité on doit avoir quatre modalités du caractère état matrimonial : Célibataire, marié, veuf et divorcé Incompatible chaque individu doit pouvoir être classé dans une seule et une seule modalité du caractère Exemple : Un individu ne peut être à la fois célibataire et marié Chaque individu d’un caractère doit pouvoir être classé dans une et une seule Modalité Dimension qualitatives Dimension quantitatives Discret Continue Population Individu Echantillon Tableaux Exemple d’application On souhaite connaître l’état des maisons. Choix entre trois types de caractère. Caractère qualitatif{ Population: Maisons (100) Individu: Unemaison parmices 100maisons Caract è ℜ: l ' é tat dela maison Modalit é s: Petite ,moyenne,grande Caractère quantitatif discret{ Population: Maisons (100) Individu: Unemaison parmices 100maisons Caract è ℜ: Nombrede pi èces Modalit é s:1,2,3,4,5 Caract è ℜquantitatif continu{ Population: Maisons (100 ) Individu:Une maison parmices100maisons Caract è ℜ: Surfaces(not é S) Modalit é s:S∈[60,200]m 2 Exercice d’application Une compagnie achète 10 000 ampoules électriques d’un fabricant qui affirme que ses ampoules fonctionnent durant au moins 1 000 heures (1 mois et 11 jours, sans arrêt). Cette compagnie vérifie 15 ampoules et, suite à ces résultats doit décider si elle garde ou non les 10000 ampoules. Identifier la population, l’individu, le caractère et les modalités ? Solution Population : les 10 000 ampoules achetées Echantillon : 15 ampoules à vérifier Individus : une ampoule parmi les 15 ampoules Caractère : Durée de fonctionnement de l’ampoule Modalité : Durée Population : les 10 000 ampoules achetées Echantillon : 15 ampoules à vérifier Individus : une ampoule parmi les 15 ampoules Caractère : l’état de l’ampoule Modalité : Bon ou mauvais uploads/Science et Technologie/ cours-mathematique-statistique2.pdf