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Ministère de l’enseignement supérieure et de la recherche scientifique Universi

Ministère de l’enseignement supérieure et de la recherche scientifique Université d’Alger Faculté des Sciences Sciences de la matière Planification d’expérience - ANALYSE DES RESULTATS - Année Universitaire 2020-2021 Présenté par : Dr I. LAKEHAL Page 2 Introduction les effets sont calculés à partir des réponses mesurées, entachées d'erreur aléatoire. Un effet, positif ou négatif, est d'autant plus crédible que sa valeur absolue est grande. QUELS EFFETS (PRINCIPAUX, INTERACTIONS) SONT SIGNIFICATIFS ? Page 3 Méthodologie dans l’étude d ’un phénomène 3 Lors de l ’étude d ’un phénomène, plusieurs questions se posent, auxquelles répondent différents types de plans. On peut distinguer 3 grandes étapes dans l ’acquisition des connaissances : Recherche des facteurs influents traité ! Modélisation Optimisation RAPPEL Page 4 la modélisation RAPPEL Quand les facteurs influents ont été identifiés et leur importance quantifiée, on recherche ensuite l ’équation permettant de décrire les variations de la réponse étudiée en fonction de celles des facteurs influents ; cette seconde étape constitue la modélisation. Modèles utilisés : linéaires polynomiaux du 1er degré ou du 2e degré : ŷ = yC + a1X1 + a2X2 + a12X1X2…. ŷ = yC + a1X1 + a2X2 + a12X1X2 + a11x²1 + a22x²2….. Nous nous limiterons aux polynômes du 1er degré Page 5 LE MODELE LINEAIRE (1er degré) 5 La méthode précédente de calcul des effets utilise de façon sous-jacente un modèle linéaire : une équation permet de représenter la réponse Y en fonction des facteurs XA , XB … Ce modèle permet de quantifier les effets EA , EB , EAB .. et de détecter ceux qui sont significatifs. Cette équation a d’autres objectifs: permettre de prévoir la réponse dans des conditions expérimentales où aucune mesure n’a été effectuée (à l’intérieur du domaine). servir de point de départ dans une étude d’optimisation. RAPPEL Page 6 1-l’équation du modèle linéaire (plans 2n) yc somme de plusieurs termes : la moyenne de l’ensemble des réponses du plan Dans le modèle linéaire , la réponse prédite, notée y ˆ est la pour un facteur, le terme est une fonction du 1er degré par rapport au facteur centré réduit X , le coefficient de proportionnalité étant égal à l’effet principal de ce facteur (effet moyen). pour une interaction , le terme est constitué par les produits des facteurs centrés réduits intervenant dans l’interaction et l’effet moyen de cette interaction. yˆ = y + EAXA + EBXB + EABXAXB... RAPPEL Page 7 2-Utilisation de la régression linéaire multiple La régression linéaire multiple a pour objet d’expliquer une variable (Y) par plusieurs variables explicatives (les facteurs et les interactions) au moyen d’une relation linéaire : ŷ =a+b1X1+b2X2+...+bnXn Elle convient donc parfaitement bien à la modélisation des plans factoriels 2n comportant des facteurs quantitatifs : - les variables explicatives sont indépendantes entre elles (par construction du plan) - les coefficients de l’équation (effets estimés) également En pratique, dans la matrice des effets, on choisit comme variables explicatives les colonnes correspondant aux facteurs et aux interactions d’ordre 2. RAPPEL Page 8 Dans les plans factoriels 2n chaque facteur n’est expérimenté qu’en 2 points , aux extrémités –1 et +1 du domaine. Cela explique le choix empirique d’une équation du 1er degré en fonction des facteurs centrés réduits X : par 2 points , il passe une droite et une seule ; mais il faut aussi ajouter qu’il peut y passer une infinité de courbes d’équations diverses … Il est donc important de s’assurer de la linéarité de l’équation dans tout le domaine en réalisant des expériences complémentaires avec un 3ème point à l’intérieur du domaine. On choisit généralement le centre (X = 0) situé à égale distance des extrémités expérimentées. RAPPEL Page 9 Quand on dispose de répétitions au centre du domaine expérimental, il est possible de juger la linéarité de l’équation de prédiction en comparant statistiquement  la moyenne y0 de ces répétitions.  la réponse prédite au centre par l’équation linéaire , égale à la moyenne y des n réponses du plan factoriel 2n. Ces 2 moyennes doivent être en théorie égales et en pratique peu différer lorsque le modèle linéaire est valide. Et, Lorsqu’on obtient des valeurs très différentes , s’écartant de plusieurs fois l’écart type , cela signifie que le modèle linéaire n’est pas valable et qu’il faut envisager un modèle empirique plus complexe , où les facteurs centrés réduits interviennent au 2ème degré par exemple. Notons qu’il existe des tests statistiques d’écart à la linéarité du modèle RAPPEL Page 10 Notions de statistiques appliquées aux plans d'expérience I-Erreur expérimentale Les 4 points au centre ont des valeurs différentes (Tableau 1). Au lieu de donner la liste des quatre valeurs, on peut essayer de la résumer en indiquant la valeur centrale et la dispersion autour de cette valeur centrale. En général, on prend la moyenne arithmétique comme valeur centrale et l'écart-type comme mesure de la dispersion (mesure la variabilité des valeurs d'une série statistique). 1-Moyenne Par définition, la moyenne arithmétique d'un ensemble de valeurs est la somme de toutes les valeurs divisées par le nombre de valeurs. Pour les valeurs y i données dans le tableau (1) la moyenne arithmétique est égale à: Page 11 11 2-Ecart-type: La définition de l'écart-type est un peu moins simple que celle de la moyenne. 1. On commence par calculer les écarts à la moyenne, c'est -à-dire la différence entre chaque valeur et la moyenne arithmétique des valeurs 2. Notez que la somme de ces écarts à la moyenne est égale zéro. On démontre d'ailleurs que c'est toujours le cas: On ne peut donc pas prendre la somme des écarts comme mesure de la dispersion. C'est pourquoi on fait disparaitre le signe négatif en prenant les écarts. Notions de statistiques appliquées aux plans d'expérience Page 12 3. Ces écarts à la moyenne sont donc élevés au carré et additionnés. On obtient ainsi la somme des carrés des écarts à la moyenne: 4. Cette somme est divisée par le nombre valeurs (essais) moins 1 (4-1= 3) Cette quantité porte le nom de Variance. C'est une grandeur fondamentale de la science statistique. On la retrouve partout et il en sera fait un grand usage. 5. Et enfin l'écart-type est obtenu en prenant la racine carré de la variance Pourquoi prend-on la racine carré de la variance? Simplement pour exprimer la dispersion dans la même unité que les données d'origine et que la moyenne. Notions de statistiques appliquées aux plans d'expérience Page 13 II- Degrés de liberté Soit n réponses mesurées indépendamment les unes des autres. Il n'existe pas de relation mathématique entre elles. Les n écarts à la moyenne correspondants ne sont pas indépendants. En effet, il existe une relation mathématique entre ces écarts. Quand on en connaît n-1, on peut calculer le dernier avec la relation mathématique. Par exemple, reprenons les quatre écarts à la moyenne de l'exemple précédent. Les trois premiers écarts sont: -0.4, +1.1, -1.1 et le quatrième écart s'obtient facilement puisque la somme des écarts est toujours égale à 0. Il n'y a donc que n-1 écarts indépendants. On dit que la série des n écarts à la moyenne possède n-1 degrés de liberté. Le nombre de degrés de liberté est important car il intervient dans de nombreuses formules de statistiques. Notions de statistiques appliquées aux plans d'expérience Page 14 ri = yi – ŷi pour l’essai n° i étude des résidus résidu = réponse mesurée – réponse prédite ŷ = 116 +10,25*XA + 5,125*XD - 3, 5*XF + 6,125*XAXD - 5,125*XDXF n° essai mesuré prédit résidu 1 109 105,125 3,875 2 113 113,375 -0,375 3 103 105,125 -2,125 4 113 113,375 -0,375 5 103 105,125 -2,125 … … … … 1 Etude des résidus Page 15 La notion de résidu n’a pas de sens si l’équation du modèle tient compte de tous les effets calculés Si l’on ne tient compte que des effets significatifs, les résidus ont des valeurs non nulles qui doivent être considérées comme des « termes d’erreur » résidu ----partie de la mesure non explicable par le modèle causes possibles : -variations des facteurs non contrôlés pendant l’expérience -imprécision de la méthode de mesure -modèle inadapté Par construction les résidus ont toujours comme moyenne 0 et comme écart-type Sy, l’écart-type des réponses individuelles Etude des résidus Page 16 A partir de quelle VALEUR SEUIL, peut-on dire qu'un effet est SIGNIFICATIF, autrement dit qu'il a certainement une existence réelle? Soit σ E l'écart-type(*) d'un effet principal ou d'interaction de grandeur E. Si |E | est très supérieur à σ E , au moins 3 fois, l'existence de l'effet sera considéré comme certaine. Si |E | est très nettement inférieure à σ E , l'effet calculé a plus de chances de résulter de la dispersion des mesures de réponses que de l'existence réelle de l'effet : la décision sera que l'effet n'existe pas. Si |E | et σ E sont du même ordre de grandeur, c'est le cas critique pour lequel il faudra avoir recours aux tests statistiques pour décider de l'existence ou non de l'effet. Remarque:pour des GRANDEURS uploads/Science et Technologie/ cours5-planification-dexperience-m2-ca-s5-2020-2021.pdf