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la brochure « L’explosion des mathématiques », conçue par la Société mathématiq

la brochure « L’explosion des mathématiques », conçue par la Société mathématique de France (SMF) et la Société de mathématiques appliquées et industrielles (SMAI), a été réalisée avec le soutien financier du Ministère de la Recherche et du CNFM (Comité national français des mathématiciens). Les éditeurs remercient chaleureusement Madame Brigitte Vogler, chef de la Mission de la Culture et de l’Information scientifiques et techniques et des Musées, au Ministère de la Recherche. Conception éditoriale et coordination Mireille Martin-Deschamps, Patrick Le Tallec et Michel Waldschmidt, avec la participation de Fabian Astic, Francine Delmer et Maurice Mashaal. Comité de lecture Fabian Astic, Jean-Michel Bismut, Jean-Pierre Bourguignon, Mireille Chaleyat-Maurel, Francine Delmer, Mireille Martin-Deschamps, Patrick Le Tallec, Gérard Tronel, Michel Waldschmidt. Rédaction Maurice Mashaal Recherche iconographique Electron libre, Francine Delmer et Maurice Mashaal Maquette et mise en page Patricia Rocher (École polytechnique, Palaiseau) Couverture Christophe Bongrain Réalisation et impression École polytechnique, Palaiseau © SMF et SMAI, juillet 2002 ISBN 2-85629-120-1 Les titres, intertitres, textes de présentation et légendes ont été établis sous la responsabilité de la rédaction. SMF Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tel. 01 44 27 67 96 http://smf.emath.fr SMAI Institut Henri Poincaré 11 rue Pierre et Marie Curie 75231 Paris Cedex 05, France Tel. 01 44 27 66 62 http://smai.emath.fr 5 ......................... Avant-propos Mireille Martin-Deschamps et Patrick Le Tallec 7 ......................... Le temps qu’il fera Claude Basdevant La prévision météorologique ou climatique n’est pas une mince affaire. Elle implique la modélisation de nombreux phénomènes de natures différentes, et l’intervention de plusieurs sciences, des mathé- matiques à la biologie, en passant par l’informatique, la physique ou la chimie. 11 ......................... Les dessous du téléphone portable Daniel Krob Le téléphone mobile est maintenant un objet relativement banal. Qui n’a jamais vu un portable ou télé- phoné avec? Mais rares sont ceux qui ont une pensée pour la science et la technologie mises en jeu. 15 ........................... Cryptage et décryptage : communiquer en toute sécurité Jean-Louis Nicolas Dans le monde actuel, où les télécommunications occupent une place cruciale, la cryptographie est un enjeu majeur. Elle est aussi devenue une science complexe, qui ne peut se passer de mathématiciens de haut niveau. 19 ......................... Contrôler un monde complexe Pierre Perrier Qu’il s’agisse de la manœuvrabilité d’un avion, de la tenue mécanique d’une structure compliquée ou de la gestion du trafic automobile, le progrès dans ces domaines ne vient pas uniquement des inventions purement techniques. Il naît aussi de recherches abstraites, comme la théorie mathématique du contrôle. 23 ......................... Le théorème du soufflet Étienne Ghys Une règle, un crayon, du carton, des ciseaux et de la colle: il n’en faut guère plus pour procurer aux mathématiciens du plaisir et de jolis problèmes — dont l’étude se révèle souvent, après coup et de manière inattendue, utile dans d’autres métiers. 28 ........................ Trouver un gène responsable de cancer Bernard Prum Les développements de la biologie moderne, et notamment ceux de la génétique moléculaire, exigent de nouveaux outils mathématiques. Exemple avec la statistique et son rôle dans la recherche d’un gène lié au cancer du sein. 32 ......................... Des ondelettes pour comprimer une image Stéphane Mallat Qu’elles soient stockées numériquement dans des mémoires informatiques ou qu’elles voyagent à tra- vers Internet, les images occupent beaucoup de place. Heureusement, il est possible de les « conden- ser » sans altérer leur qualité! 36 ........................ Empêcher les ondes de faire du bruit Daniel Bouche Comment échapper à la détection par un radar? Quelle est la forme optimale d’un mur anti-bruit? Peut- on améliorer les images échographiques? Pour recevoir une réponse satisfaisante, ces questions deman- dent des analyses théoriques poussées. 41 ......................... Quand art rime avec maths Francine Delmer Les mathématiques n’inspirent pas que les scientifiques. De nombreux artistes y ont puisé la matière de certaines de leurs œuvres. La réciproque est parfois vraie aussi, comme dans le cas de la perspective, où l’art a montré le chemin à des théories géométriques. 47 ......................... De l’ADN à la théorie des nœuds Nguyen Cam Chi et Hoang Ngoc Minh L’activité biologique de la molécule d’ADN dépend notamment de son agencement dans l’espace et de la façon dont elle est entortillée — choses qui sont du ressort de la théorie mathématique des nœuds. Sommaire 51 ......................... Le philosophe et le mathématicien Pierre Cassou-Noguès Tout au long de leur histoire, la philosophie et les mathématiques ont entretenu une relation aussi étroite qu’énigmatique. Il faudrait revenir à Platon dans le monde grec et à Descartes à l’aube de l’époque moderne. Évoquons ici deux grandes figures du XXe siècle, David Hilbert et Edmund Husserl. 56 ......................... Comment rationaliser les ventes aux enchères? Jean-Jacques Laffont Grâce notamment à Internet, les ventes aux enchères se généralisent. La modélisation de ces procédés de vente permet de définir les règles et stratégies optimales de leur utilisation. 61 ............................. De l’économétrie pour vendre des vins ou des obligations Philippe Février et Michael Visser Grands vins ou bons du Trésor font l’objet de ventes aux enchères. Mais quel type d’enchères faut-il pratiquer? Pour le savoir, on complète les modélisations générales des enchères par des études économétriques. 66 ......................... Les casse-tête des compagnies aériennes Jean-Christophe Culioli Les problèmes d’organisation et de planification posés à une compagnie aérienne sont analogues à ceux rencontrés dans d’autres secteurs d’activité. La recherche opérationnelle, domaine qui concerne des dizaines de milliers de mathématiciens et d’ingénieurs dans le monde, s’évertue à les résoudre au mieux. 70 ......................... De la géométrie à 11 dimensions pour comprendre la Genèse? Maurice Mashaal Les physiciens aspirent depuis longtemps à une théorie capable d’englober toutes les particules élé- mentaires et toutes leurs interactions. Depuis une quinzaine d’années, ils ont une piste sérieuse. Pour l’explorer, ils doivent naviguer dans des espaces hautement abstraits où même les mathématiciens ne s’étaient pas encore aventurés. 75 ......................... Internet: modéliser le trafic pour mieux le gérer François Baccelli Les spécialistes des réseaux de communication s’efforcent de bien comprendre les propriétés statistiques du trafic de données qu’ils doivent acheminer. La gestion de ces réseaux et leur développement en dépendent. 80 ......................... Le prix des options financières Elyès Jouini Le monde de la finance fixe le prix des options au moyen de formules qui ont été obtenues grâce à des travaux mathématiques relativement récents. La recherche de meilleures formules se poursuit… et cela ne concerne pas que les boursicoteurs! 84 ......................... Communiquer sans erreurs: les codes correcteurs Gilles Lachaud Pour détecter et corriger les inévitables erreurs qui affectent les échanges d’information numérisée, les spécia- listes du codage numérique en appellent à des méthodes abstraites qui relèvent de l’algèbre ou de la géométrie. 88 ......................... Reconstruire des surfaces pour l’imagerie Jean-Daniel Boissonnat Reconstituer une surface en ne connaissant que certains de ses points: un problème que l’on rencontre souvent, qu’il s’agisse d’exploration géologique, d’archivage de vestiges archéologiques, d’imagerie médicale ou industrielle. 92 ......................... Les mathématiciens en France et dans le monde Jean-Pierre Bourguignon Jusque vers la fin du XIXe siècle, les « géomètres », comme on appelait jadis les mathématiciens, étaient peu nombreux. En un siècle, leurs rangs se sont considérablement renforcés. Aujourd’hui, ils doivent faire face à une profonde mutation de leur discipline. 98 ......................... Comment devenir mathématicien? Maurice Mashaal De longues années d’apprentissage et des talents évidents sont nécessaires pour qui veut faire de la recherche fondamentale en mathématiques. Mais les passionnés ont à leur disposition plusieurs filières de formation, avec des débouchés variés. nous vivons aujourd’hui une situation pour le moins paradoxale. Les mathéma- tiques sont un instrument irremplaçable de formation à la rigueur et au raisonnement; elles développent l’intuition, l’imagination, l’esprit critique; elles sont aussi un langage international, et un élément fort de la culture. Mais elles jouent en outre, par leurs interactions avec les autres sciences, un rôle grandissant dans la conception et l'éla- boration des objets de notre vie quotidienne. Or cet état de fait est en général tota- lement ignoré par la majorité de nos concitoyens, pour qui les mathématiques ont sou- vent perdu leur sens. Il est parfois de bon ton, y compris dans des postes à responsabilité, de se vanter d’être « nul en maths », ou d’en contester l’utilité. On peut trouver à ce paradoxe et à cette incompréhension des explications qui tiennent à la spécificité des mathématiques. C'est une discipline qui se nourrit de ses liens avec les autres sciences et avec le monde réel, mais qui également s'enrichit elle- même: les théories ne se démolissent pas, elles se construisent les unes sur les autres. Réciproquement, même si bon nombre de chercheurs en mathématiques sont inté- ressés avant tout par le côté intellectuel et même esthétique de leur discipline, les appli- cations surgissent parfois de manière inattendue. Ainsi, les applications enrichissent la recherche, mais ne peuvent seules la piloter. Cet équilibre subtil entre les facteurs de développement interne et externe doit absolument être préservé. Vouloir définir l'activité ou la recherche en mathématiques par ses applications potentielles reviendrait à les faire disparaître. À l'opposé, privilé- gier l'axiomatisation, l'étude des structures et la dynamique interne de uploads/Science et Technologie/ explo-maths.pdf