Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et d

Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique Département de Mathématiques et Informatique 1 ere Année Licence MIAS Matière : AnalyseI Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri Feuille d’exercices N1 (24 Septembre 2018) Naturels, Rationnels et Réels Dans chacun des cas suivants, utilisez uniquement (et indiquez) les théorèmes ou les axiomes introduits dans le cours. Exercise 1 (a) Montrer que 3 + 11 +    + (8n 5) = 4n2 n pour tout n 2 N: (b) Montrer que 1 + 1 2 + 1 4 +    + 1 2n = 2 1 2n pour tout n 2 N: Exercise 2 Nous décrivons maintenant une extension utile du principe de l’induction mathématique. Soit Pm; Pm+1; : : : ; une suite de propositions, montrez que (i) Pm est vraie; (ii) pour tout n  m; si Pm est vraie alors Pm+1 est vraie; alors Pn; Pn+1; : : : sont vraies. Utilisez cette extension du principe de l’induction mathématique pour mon- trer les a¢rmations suivantes : (a) n2 > n + 1 pour tout entier n  2: (b) n! > n2 tout entier n  4: (Rappelons que n! = n (n 1)    2  1: Par exemple, 5! = 5  4  3  2  1:) Exercise 3 Soit p; q 2 Q: Supposons que pour tout s > p; nous avons q  s: Montrer que q  p: (Astuce : Montrer le résultat par contradiction en utilisant le fait que, entre deux nombres rationnels, il existe un nombre rationnel). Exercise 4 Montrer que p 2 + p 3 est irrationel. De même pour 3 p 5 p 3: Exercise 5 (a) Montrer que p 12 est irrationnel. 1 (b) Considérons maintenant l’ensemble E := f 2 Qj 2 < 12g. Étant donné 2 Q tel que 2 < 12, trouver un nombre rationnel explicite  > 0 (dépendant bien sûr de ), tel que ( + )2 < 12. Indice. Il est facile de voir que < 4. Aussi, si  est choisi inférieur à 1, alors 2 <  (quel axiome d’ordre utilisons-nous?). (c) De même, si 2 > 12 et < 4, trouver un nombre rationnel explicite positif  tel que ( )2 > 12 et pourtant  est une borne supérieure de E. (d) Par conséquent, montrez que E n’a pas de borne supérieure dans Q. Exercise 6 Soit A; B  R. (a) Si sup A < sup B, alors montrer qu’il existe b 2 B qui soit une borne supérieure pour A. (b) Montrer, en donnant un exemple, que ce n’est pas nécessairement le cas si sup A  sup B. Exercise 7 Soit a < b des nombres réels, et considérons l’ensemble T = Q \ [a; b]. Montrer que inf T = a et sup T = b. Exercise 8 Soit a; b 2 R. (a) Montrer que jbj  a si et seulement si a  b  a: (b) Montrer que jjbj jajj  jb aj. Exercise 9 (a) Soit a; b 2 R tel que a  b + 1 n pour tout n 2 N. Montrer que a  b: (b) Montrer que si a > 0, alors il existe un nombre naturel n 2 N tel que 1 n  a  n: Exercise 10 Soit a; b 2 R tel que a < b. Utilisez la densité de Q pour montrer qu’il existe une in…nité de rationels entre a et b. Exercise 11 Soit A et B des sous-ensembles non vides de R, et posons A + B := fa + bja 2 A; b 2 Bg: C’est-à-dire que A + B est l’ensemble de toutes les sommes a + b, où a 2 A et b 2 B. (a) Montrer que sup(A + B) = sup A + sup B. Note. Considérer séparément le cas où au moins l’une des deux bornes sup à droite est 1. (b) A voir que inf(A + B) = inf A + inf B: Astuce : Utilisez (a). 2 uploads/Science et Technologie/ feuille-d-x27-exercices-n01.pdf

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