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Math2 centrale pc 2011 Mathématique PC heures Calculatrices autorisées Notations ?? Dans tout le problème n est un entier naturel ?xé supérieur ou égal à ?? On note Mn p R l ? ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coe ?cients réels ?? En par

Mathématique PC heures Calculatrices autorisées Notations ?? Dans tout le problème n est un entier naturel ?xé supérieur ou égal à ?? On note Mn p R l ? ensemble des matrices à n lignes et p colonnes et à coe ?cients réels ?? En particulier Mn R désigne l ? ensemble des matrices colonnes à n lignes et à coe ?cients réels Selon l ? usage on pourra librement identi ?er les espaces vectoriels Mn R et Rn ?? On note Mi j le coe ?cient sur la i-ème ligne et j-ème colonne d ? une matrice M ?? L ? espace Mn R est muni de sa structure euclidienne usuelle En particulier si V W ?? Mn R on pose n V W Vi Wi et i V n Vi i ?? La notation tM désigne la transposée d ? une matrice M rg M son rang et lorsque M est carrée tr M sa trace On rappelle que tr AB tr BA pour tout A ?? Mk l R et B ?? Ml k R ?? On note également On R le groupe des matrices orthogonales d ? ordre n On R le sous-groupe de On R for- mé des matrices de On R de déterminant positif et On ?? R l ? ensemble des matrices de On R de déterminant négatif ?? Par dé ?nition une rotation est un automorphisme orthogonal de l ? espace Mn R de déterminant Objectif du problème On se donne des vecteurs X Xm Y Ym de Mn R et on cherche à déterminer si c ? est possible une rotation r de Mn R telle que r Xi Yi pour i m Cela revient à déterminer une matrice W ?? On R réalisant W Xi Yi pour i m Sans hypothèse sur les vecteurs Xi et Yi une telle rotation n ? a pas de raison d ? exister ni d ? être unique C ? est pourquoi on s ? intéressera plutôt dans la suite au problème plus faible suivant trouver une matrice W ?? On R minimisant la quantité m i W Xi ?? Yi autrement dit telle qu ? en un sens les W Xi soient aussi proches que possible ? des Yi I Questions préliminaires I A ?? Généralités sur les matrices orthogonales I A I A Quel est le déterminant d ? une matrice de On R de On ?? R On justi ?era les réponses On ?? R est-il un sous-groupe de On R I A Montrer que les valeurs absolues des coe ?cients d ? une matrice orthogonale sont inférieures ou égales à I B ?? Un exemple numérique Dans cette section n m On pose X X ?? ?? F EB F F Y F EC F EC F ED ?? F F F F F F F EB F F ?? Y F EC F EC F ED ?? F F F F F F On introduit les a ?xes respectives