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Synthèse des Activités de Recherche HABILITATION UNIVERSITAIRE DE Année Univers

Synthèse des Activités de Recherche HABILITATION UNIVERSITAIRE DE Année Universitaire 2012-2013 الجـمھورية ا لجـزائـرية الديمقـراطية الـشعبية REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique وزارة التعليم ا لعالي والبحث العلمي U UN NI IV VE ER RS SI IT TE E A AB BO OU U B BA AK KR R B BE EL LK KA AÎ ÎD D- - T TL LE EM MC CE EN N F FA AC CU UL LT TE E D DE ES S S SC CI IE EN NC CE ES S D DE EP PA AR RT TE EM ME EN NT T D DE E P PH HY YS SI IQ QU UE E Laboratoire d'Automatique (LAT) Mr CHIKHAOUI Abdelhak Habilitation Universitaire Résumé de thèse de Doctorat 1 I - Introduction Les travaux présentés ici, ont été effectué au sein de l'équipe "Approximation et Stabilité des Systèmes Non linéaires" du laboratoire d'Automatique de université de Tlemcen. La synthèse de douze années de recherche est présentée maintenant afin de mettre clairement en évidence ma contribution scientifique. Les travaux de recherche présentés s’orientent autour d'un axe principale basé sur la Modélisation suivant deux aspects un théorique et l'autre numérique: Approximation et étude de la stabilité des systèmes non-linéaires Un très grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être "Modélisés" par des équations aux dérivées partielles ou équations différentielles ordinaires. Par modèle, nous entendons un ensemble d'équations (ou inéquations) qui, jointes à des conditions au limite et, lorsque le phénomène est dévolution, à des conditions initiales, permet de définir l'état du système. C'est ce qu'on appelle aussi la modélisation par systèmes distribués. Naturellement l'écriture d'un modèle (un phénomène pouvant être souvent décrit, dans des conditions pas toujours équivalentes, par des variables d'états différentes) est une étape importante mais non décisive. Encor faut-il pouvoir étudier le modèle, i.e en déduire des propriétés qualitatives ou quantitatives qui: 1-redonnent dans des conditions simples, les observations faites (les mesures). 2-donnent des informations supplémentaires sur le système. On s'est aperçu depuis longtemps que la plupart des phénomènes de la physiques mathématique sont non-linéaires, les cas parmi les plus célèbres étant l'équation de Boltzmann en mécanique statistique. Les équations de Navier- Stokes en mécanique des fluides. Ainsi l'art du physicien est de faire des approximations adroites pour ramener un problèmes que l'on ne sait pas traiter, à un problème susceptible d'avoir une solution analytique (exemple Galilée négligeant le frottement pour découvrir la persistance du mouvement uniformes. Sur ces bases, nous pourrons aborder la grande question de l'analyse numérique de résultats provenant d'expériences, comme il existe des méthodes qui nous permette de modéliser les phénomènes complexes à l'aide d'hypothèses afin de les relier à une loi où modèle mathématique. Certains problèmes physiques peuvent être directement modélisés (i.e sans approximation) par des équations linéaires : c'est le cas de l'équation de transport des neutrons. Notamment d'autres phénomènes peuvent être déduits de systèmes non-linéaires soit en négligeant certains termes (ce qui est valide dans certaines situations: (petits déplacement, mouvement...), soit par linéarisation autour d'une solution particulière. Les progrès de l'analyse mathématique et, d'autre part , l'arrivée de l'outil de calcul numérique. L'arrivée, en effet; des ordinateurs, leurs progrès immenses et incessants, ont permis pour la première fois dans l'histoire de calculer, à partir des modèles, des quantités qui, jusqu'alors, ne pouvaient être que très approximativement estimées et peut-être par- dessus tout, de les calculer sûrement et rapidement, d'où la possibilité (fondamentale) pour les chercheurs et pour les ingénieurs, de pouvoir utiliser les résultats numériques pour la modification ou l'adaptation des raisonnements, les expériences ou des réalisations en en cours. Habilitation Universitaire Résumé de thèse de Doctorat 2 Tout cela explique pourquoi, dans des sujet divers, la modélisation par les équations suivie de l’analyse théorique, puis numérique, suivie à son tour de la confrontation à l’expérience, est une démarche de base. La modélisation est également devenue le soutien des travaux de nombreuses disciplines (la physique, l'électronique, la chimie, la biologie, l'écologie, etc...). II - Note historique sur la thématique de recherche cette présentation a pour but de faire apparaître une thématique que j’ai entamé ces dernières années en collaboration avec les membres de mon équipe. Il s’agit de : L'Approximation et l'étude de la stabilité des systèmes non-linéaires (systèmes dynamiques modélisés par des équations différentielles ordinaires dépendant d’un paramètre). Lorsque nous voulons prédire ou décrire un phénomène physique concret, nous pouvons généralement passer par un modèle analytique où les différentes grandeurs sont exprimées par des indéterminées (valeurs abstraites) et les lois de la physique par des fonctions, dans la mesure où elles sont connues (le cas échéant, nous pouvons faire une hypothèse et la tester). En mettant en équation un phénomène physique, nous traduisons la réalité en une expérience mathématique, virtuelle, selon certaines règles. Dont les équations différentielles représentent une bonne candidates pour la description de ce phénomène, depuis son invention au 17ème siècle, ces équation font partie des concepts qui assurent remarquablement la relation entre les mathématiques et les domaines de la science. L’étude de ces équations est un domaine mathématique qui historiquement a fait l’objet de nombreuses recherches [1],[2],[3],[4],[5]..., est continue cependant de rester d'actualité, le fait qu'elle intéresse particulièrement des discipline, et continue cependant de rester d’actualité, par le fait qu’elle intéresse particulièrement des disciplines comme la mécanique, la physique et plus récemment la biologie, l’électronique, spécialité où de nombreux ” modèles ” conduisent à des équations du même type. Il convient de souligner que la plupart de ces équations sont globalement de nature non- linéaire. Du fait que la description d’un système, à partir des lois régissant son fonctionnement, conduit souvent à un modèle non linéaire, la manipulation peut se révéler complexe. De ce fait il n’existe pas, en l’état actuel des choses, une théorie d’ensemble des équations non-linéaires. Pour ce faire, des calculs approchés basés sur la méthode des petites perturbations, des méthodes de linéarisation...etc., sont effectués concernant ces phénomènes, sur lesquels on dispose de très peu d’information. parmi ces problèmes non-linéaires, une classe importante est modélisée par les équations différentielles non-linéaires de la forme:          0 0 x x x F dt dx (1) Habilitation Universitaire Résumé de thèse de Doctorat 3 Toutefois, dans de nombreux cas, il peut s’avérer que plusieurs systèmes peuvent admettre un domaine de comportement linéaire, la linéarité étant toujours une approximation de la réalité. Dès lors, les méthodes de linéarisation jouent un rôle important dans l’étude des équations différentielles ordinaires non linéaires, dont on peut dire que tout système linéaire n’est jamais que le modèle simplifié d’un système non- linéaire que l’on veut ignorer. Bien entendu, un certain nombre de questions propres aux problèmes linéaires peuvent se généraliser aux problèmes non linéaires si, d’une part, les perturbations dues aux non- linéarités sont petites et, d’autre part, à la structure des problèmes linéarisés correspondants qui introduit assez de régularité. Il est alors important de noter que l’étude de la stabilité d’un système non -linéaire est menée sur le système linéarisé, dont le problème de stabilité revêt une importance évidente; en effet, en partant de l’hypothèse selon laquelle la stabilité d’un système constitue en principe une garantie qu’une perturbation ne conduira pas à une catastrophe [2]. Il s’agit donc d’un renseignement important. Mais, généralement, il n’existe pas une définition absolue de la stabilité. Elle a évolué de façon continue pendant le cours d’histoire, et a toujours été ajustée aux exigences spécifiques à des problèmes particuliers. Donc, il convient de souligner, en premier lieu, que le concept est relatif et dépend du système de référence employé [6]. S’inspirant de ces propositions et du théorème de Lagrange sur la stabilité de l’équilibre dans le cas où il y aurait une fonction de forces. Un apport majeur de Lyapunov et simultanément, de Poincaré, a été de donner des conditions de la validité de cette approximation, basée sur les propriétés des solutions du modèle linéarisé. Cette méthode permet de conclure localement sans avoir à donner de renseignements quantitatifs. En fait, depuis l’apparition du célèbre mémoire de Lyapunov ” Problème général de la stabilité du mouvement ” en (1892) justifient et étendent les propriétés locales déduites du modèle linéarisé. L’un des résultats principaux est la première méthode de Lyapunov : si l’origine est asymptotiquement stable pour le linéarisé alors il est localement asymptotiquement stable pour le système non linéaire. Cependant elle ne donne aucun renseignement quantitatif sur le domaine de stabilité asymptotique. Cette lacune fut contournée par l’introduction des célèbres fonctions de Lyapunov : c’est la seconde méthode de Lyapunov. Plusieurs définitions et études ont été menées, certaines lui sont équivalentes, d’autres en différent dans certains cas particuliers. D’autre enfin, sans la contredire, ont pour intérêt de la préciser. On cite parmi eux I. Mlkin (1952), Hahn (1963), Lasalle et Lefschetz (1961), etc. Cependant, la détermination d’une fonction de Lyapunov constitue une difficulté majeure. Plusieurs méthodes de recherche de cette fonction ont été proposées, méthode du gradient variable Schultz et Gibson (1962), Zoubov (1957); uploads/Science et Technologie/ hdr-chikhaoui.pdf