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Initiation à la recherche en mathématiques Gaetan Bisson https://gaati.org/biss

Initiation à la recherche en mathématiques Gaetan Bisson https://gaati.org/bisson/ Introduction Les mathématiques remontent aux premières civilisations et font l’objet d’études systéma- tiques depuis plusieurs siècles. La manière concise par laquelle elles vous ont été enseignées en licence est trompeuse : afin de prendre cette forme aboutie, ce que nous appelons de nos jours les fondations des mathématiques ont connu bien des remaniements. Ce cours a pour objectif de montrer la démarche de recherche par laquelle de nouvelles mathématiques voient le jour et, progressivement, prennent la forme établie sous laquelle elles sont ensuite enseignées. Discuter des thèmes de recherche actuels nous entraînerait bien trop loin, aussi nous contenterons nous de considérer quelques exemples concrets. Nous insisterons sur deux points : — les démarches suivies par les chercheurs en mathématiques; — les outils permettant de supporter ces démarches. Parmi ceux-ci, l’outil informatique occupe aujourd’hui une place importante; la seconde partie de ce cours sera dédiée à leur usage avec pour objectif de servir tant le chercheur que l’enseignant. Rappelons qu’aux épreuves orales l’utilisation de logiciels est fortement appréciée par le jury. Note. Le titre de ce module est un oxymore : on peut s’initier à des techniques connues et maîtrisées mais, par essence, pas à la recherche. Autrement dit, ce cours ne fera pas de vous des chercheurs; il vise modestement à vous familiariser avec le monde de la recherche et certains des outils qui y sont mis en œuvre. 1 Table des matières 1 Contexte 3 1.1 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Parcours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Motivation et enjeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 État de l’art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Difficulté et originalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4 Diffusion et impact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Démarches 8 2.1 Cadre expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Outils 10 3.1 Collaborations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Exposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.4 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 L’outil informatique 11 4.1 Utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.1 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.2 Expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.3 Records . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.4 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Algèbre avec??? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4 Géométrie avec GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bibliographie 13 2 Chapitre 1 Contexte Le monde mathématique des chercheurs est très différent de celui des étudiants : même si les objets étudiés sont les mêmes, la manière de les considérer est fondamentalement différente. Ce chapitre vise a donner une vague idée de la manière dont fonctionnent les chercheurs. 1.1 Perspectives Larechercheenmathématiquesconsisteàdécouvrirdenouvellesvérités.Lesvéritésconnues sont des théorèmes, c’est-à-dire que leur véracité est assurée par une preuve. Lorsque l’on suppose une vérité mais ne parvient pas encore à la prouver, c’est une conjecture. Le but ultime est de pouvoir répondre à toute question par un théorème. Exemple. Pour n ∈∗soit la question : « Existent-ils des entiers positifs non nul x, y, z tels que x n + yn = z n ? » Pour n = 1 et n = 2, c’est évident que la réponse est oui. En 1637, Fermat conjecture que pour tout n > 2 la réponse est négative. Il prouve cela dans le cas particulier n = 4. En 1994, Wiles prouve la conjecture de Fermat pour tout entier n > 2; elle devient le théorème de Wiles. Une fois qu’une question particulière a obtenue une réponse satisfaisante, on se penche sur d’autres questions, typiquement plus générales. Évidemment, tous les problèmes ne sont pas d’intérêts égaux; savoir se poser des questions pertinentes (et écarter les autres) est l’une des qualités d’un bon chercheur. Exemple. Caractériser les polynômes P ∈[x1, . . . , xn] qui admettent des racines entières est un sujet de recherche important et très actif de nos jours dont le théorème de Fermat–Wiles n’est qu’un cas très particulier. Contrairement aux cours de licence qui sont figés, dans le sens où tous les problèmes qu’on y aborde ont été résolus de manière satisfaisante depuis bien longtemps, la recherche évolue constamment, chaque chercheur étant libre de la faire avancer dans la direction de son choix. Les mathématiques étant une science ancienne, cette évolution a actuellement lieu bien au delà uploads/Science et Technologie/ initiation-a-la-recherche-en-mathematiques-bisson.pdf