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2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l’exercic

2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l’exercice 1 On a : ( )( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim tan tan 1 1 x x x x x x x x x x → → → + − + + + − + = = + − 1 − ( ) 0 1 1 1 lim tan 2 1 1 tan 1 1 x x x x x x → = × = + + + + Donc ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f → = Par suite la fonction f est continue en 0 Corrigé de l’exercice 2 On a ( ) 2 12 4 3 x x f x x x + − = = + − pour tout 3 x ≠ Donc ( ) 2 3 3 3 12 lim lim lim 4 7 3 x x x x x f x x x → → → + − = = + = − D’où ( ) ( ) 3 lim 3 x f x f → = Par suite la fonction f est continue en 3 Corrigé de l’exercice 3 On a ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 5 7 3 2 f + = = − On a : ( ) 2 2 2 2 2 1 lim lim 5 7 3 x x x x x f x x < < → → + = = − Et ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 lim lim lim lim 3 5 2 2 x x x x x x x x x x x x f x x x x > > > > → → → → − + + − = = = + = − − Puisque ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 lim lim 2 x x x x f x f x f > < → → = = alors f est continue en 2 2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l’exercice 4 On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 sin lim lim 1 1 sin 1 lim 1 0 sin lim sin lim sin lim 0 0 x x h h h h x f x x h x h x h h h h h h t h h h h t π π π π π π π π π π → → → → → → = − = −   +   = →     →   + = − = =     = − →     →   = − f est continue en 1 ⇔ ( ) ( ) 1 lim 1 x f x f → = ⇔m π = − Corrigé de l’exercice 5 • On a ( ) 0 0 tan tan lim lim 3 3 3 x x x x x x π π π → → = × = et la fonction "cos"est continue en 3 π Donc ( ) 0 tan 1 limcos cos 3 3 2 x x x π π →  = =     • On a 2 2 2 2 4 3 lim lim 4 7 4 4 x x x x x x x π π π →+∞ →+∞ − + = = + et la fonction "sin"est continue en 4 π Donc 2 2 4 3 2 lim sin sin 4 7 4 2 x x x x π π →+∞   − +   = =     +     2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité • On a 2 0 0 2 2 2 2 lim lim 4 1 cos 1 1 cos 2 x x x x x x → → = = = − − et la fonction " "est continue en 4 Donc 2 0 2 lim 4 2 1 cos x x x → = = − Corrigé de l’exercice 6 ( ) 3 1 f x x x = + − 1) Montrons que l’équation ( ) 0 f x = admet une solution unique α sur ℝ On a : f est continue sur ℝ ( car f est un polynôme ) ( ) ( ) 2 3 1 0 x f x x f ′ ∀∈ = + > ⇒ ℝ est strictement croissante sur ℝ ( ) 0 f ∈ ℝ ( car ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] [ , lim , lim , x x f f f x f x →−∞ →+∞   = −∞+∞ = = −∞+∞=   ℝ ℝ) Donc l’équation ( ) 0 f x = admet une solution unique α sur ℝ 2) On a f est continue sur [ ] 0,1 et ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 1 f f f f = −⇒ × <  =  Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires : 0 1 α < < 3) Etudions le signe de ( ) f x sur ℝ 1er cas : si x α ≤ Alors ( ) ( ) f x f α ≤ ( car f est croissante sur ℝ) Donc ( ) 0 f x ≤ ( car ( ) 0 f α = ) 2ème cas : si x α ≥ Alors ( ) ( ) f x f α ≥ ( car f est croissante sur ℝ) Donc ( ) 0 f x ≥ ( car ( ) 0 f α = ) 2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Corrigé de l’exercice 7 1) Montrons que l’équation ( ):1 sin E x x + = admet au moins une solution sur l’intervalle 2 , 2 3 I π π   =     Considérons la fonction h définie par : ( ) ( ) 1 sin h x x x = + − On a : h est continue sur 2 , 2 3 I π π   =     4 0 2 2 2 0 2 3 2 6 3 3 4 0 3 6 h h h h π π π π π π  −  = >           ⇒ × <          + −    = <       2) Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires : l’équation ( ) 0 h x = admet au moins une solution sur l’intervalle 2 , 2 3 I π π   =     D’où l’équation ( ):1 sin E x x + = admet au moins une solution sur l’intervalle 2 , 2 3 I π π   =     Corrigé de l’exercice 8 Soit f la fonction définie sur l’intervalle I + = ℝ par ( ) 1 1 x f x x − = + 1) On a : f est continue sur I + = ℝ( car f est une fonction homographique ) f est dérivable sur I + = ℝ et on a ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 x f x x + ′ ∀∈ = > + ℝ Donc f est strictement croissante sur I + = ℝ Par suite f admet une fonction réciproque 1 f −définie sur l’ intervalle ( ) J f I = vers I . 2ème Sciences expérimentales Série : Limites et continuité Tel que : ( ) [ [ ( ) ( ) ( ) [ [ 0, 0 , lim 1,1 x J f f f f x + →+∞   = = +∞ = = −   ℝ 2) On a : ( ) [ [ ( ) ( ) 1 1,1 1 1 1 1 1 1 y f x x f y x J y I y x y xy x y y xy x y x x − +   = =   ⇔     ∈ = − ∈ =     − ⇔ = + ⇔ + = − ⇔ − = + ⇔ − = + ℝ 1 1 x y x + ⇔ = − Donc : [ [ ( ) ( ) 1 1 1,1 1 x x f x x − + ∀∈− = − Corrigé de l’exercice 9 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] [ 1, I = +∞ par ( ) 2 uploads/Science et Technologie/ limites-et-continuite-corrige-serie-d-exercices-1-4.pdf