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BIBLIOTHÈQUE SCIENTIFIQUE Mathématiques et m stères Jean-PaulDe~haye B elin= PO

BIBLIOTHÈQUE SCIENTIFIQUE Mathématiques et m stères Jean-PaulDe~haye B elin= POUR LA SCIENCE 8. rue Férou - 75278 Paris cedex 06 www.editions-be6n.com - www.pourlascience.com Les mathématiques aux éditions Belin - Pour la Science · Jean-Paul Delahaye, Inventions mathématiques, 2014. · Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers, nouvelle édition, 2013. • David Acheson, Mathémagic - De Pi au chaos : pourquoi les maths sont réjouissantes !, 2013 . · Georg Glaeser, Konrad Polthier, Surprenantes images des mathématiques, 2013. · Jean-Paul Delahaye, La logique, un aiguillon pour la pensée, 2012. · Arno Van den Essen, Les carrés magiques, du Lo Shu au Sudoku, 2011. · Fabio Toscano, La formule secrète - le duel mathématique qui enflamma l'Italie de la Renaissance, 2011. · Jean-Paul Delahaye, Mathématiques pour le plaisir, 2010. • Ian Stewart et al., , Les mathématiciens de ['Antiquité au XXI• siècle, nouvelle édition, 2010. · Rossana Tazzioli, Riemann, le géomètre de la nature, 2010. · Jean-Michel Kantor, Loren Graham, Au nom de l'infini Une histoire vraie de mysticisme religieux et de création mathématique, 2010. · Jean-Paul Delahaye, Les inattendus mathématiques, 2004. · Jean-Paul Delahaye, L'intelligence et le calcul, 2002. · Jean-Paul Delahaye, feux mathématiques et mathématiques des jeux, 1998. · Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre Pi, 1997. · Jean-Paul Delahaye, Logique, informatique et paradoxes, 1995. Retrouvez nos ouvrages sur le site des éditions Belin www.editions-belin.com Tenez-vous informé de nos parutions en vous abonnant à la lettre semestrielle et gratuite des « Fous de sciences » : tousdesciences@editions-belin.fr Le code de la propriété intellectuelle n'autorise que «les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» [article L. 122-5]; il autorise également les courtes citations effectuées dans un but d'exemple ou d'illustration. En revanche «toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle. sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confié au C.F.C. (Centre français de l'exploitation du droit de copie. 20. rue des G rands-Augustins. 75006 Paris). l'exclusivité de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie d'œuvres protégées, exécutée sans son accord préalable. constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. IO Éditions Belin 2016 ISSN 0224-5159 ISBN 978-2-410-00236-2 Sommaire- 1 ntrod uction ............................................................................................................................... 4 La cryptographie, science du secret ............. 6 Persuader de son savoir sans le transmettre ........ Déléguer un calcul sans divulguer ses données ..................... .. ... 8 . .. 16 . ..... 24 .32 . ... 40 Bitcoin, la cryptomonnaie ........................ .. Les preuves de travail .. Les blockchains, clefs d'un nouveau monde ... Mystères et étrangetés des nombres ........................ 48 Les entiers ne naissent pas égaux .......................... .. La maîtrise des nombres premiers ......... . Être normal, pas si facile ! ............................ . De nouvelles décimales den ..... . Le calculateur amnésique . .......................................... 50 .. .................... .................... 58 .. ............ 66 ......... 74 .. .. 82 La logique et ses paradoxes ......... .. ....... ... ................... 88 La logique de la perfection L'impossible hasard .... Équations résolubles ou non ? ...... L'embarrassant paradoxe de Simpson . Indécidables utiles et inutiles . Les limites logiques et mathématiques ...... 90 .......... 98 .106 ............. 114 . .. 122 .. 130 Conjectures et spéculations risquées ...................... 135 La conjecture du carré inscrit ... Cosmos; l'art de spéculer sérieusement .................... . La beauté mise en formules .. Le hasard géométrique n'existe pas Une seule intelligence? . L 'autoréplication maîtrisée ? . ............ 138 .. 146 . .... 154 .162 ....................... 170 . ........ 178 Bibliographie ........................................................................................................................ 186 « De la connaissance naissent des mystères toujours plus grands et admirables, nous incitant à comprendre plus profondément. Il ne faut jamais craindre que les réponses se révèlent décevantes. Au contraire pleins de joie et de confiance, nous continuerons à retourner chaque pierre à la recherche d'étrangetés toujours plus merveilleuses, qui nous conduiront aux questions et aux mystères les plus fantastiques. Une grande aventure. » Richard Feynman (1918-1988) , What Da Yau [are What Other People Think? The Value af Science (p. 2Li3). W.W. Norton & Company, Inc. New York, New York, USA, 1988. _________ Introduction __ _ L es mathématiques sont une double source de mystères. D'une part, elles posent et se posent de nombreuses questions qu'elles ne réussissent pas à résoudre ou qu'elles résolvent de manière partielle: ce sont les énigmes résistantes à toutes les attaques (parmi elles, les conjectures), les objets ou situations aux propriétés bizarres, les paradoxes. D'autre part, les mathématiques créent de l'inconnu car elles inventent et étudient des méthodes engendrant à la demande des « mystères parfaits » : ce sont les codes secrets, et plus généralement les merveilles de la cryptographie mathématique moderne. Les chercheurs mathématiciens explorent tous ces sujets déconcertants et passionnants pour l'amusement et le plaisir de se confronter à la magie des choses formelles et logiques. Cependant c'est aussi parce que ces étrangetés sont utiles et créent de la valeur. Les monnaies cryptographiques, le Bitcoin et ses variantes, sont l'exemple d'une invention mathématique extraordinairement abstraite à l'origine qui, à partir de rien, engendre une monnaie numérique réelle qui vaut aujourd'hui l'équivalent de plusieurs milliards d'euros. Le mathématicien aime aussi parfois se faire philosophe. Il s'interroge par exemple sur l'idée d'omniscience: est-elle logiquement possible? Les questions se bousculent. Peut-on calculer sans mémoire? Qu'est-ce que le hasard? Qu'est-ce qu'une équation impossible? etc. L'étude des nombres entiers - les plus simples du bestiaire des nombres - est aussi l'occasion de rencontrer des questions difficiles et mal résolues. Le simple problème de poser une probabilité sur ces entiers ouvre des perspectives troublantes, et les nombres premiers n'ont pas fini de livrer leurs mystères. Chaque chapitre de ce livre vous fera découvrir une facette de cette aventure jamais interrompue des mathématiques. Ils proviennent des articles de la rubrique « Logique et calcul » qui paraît chaque mois dans la revue Pour la science, et y explore les nouveautés mathématiques amusantes ou sérieuses. Ces articles ont été mis à jour et complétés. Chaque chapitre est une unité indépendante, ce qui permet donc une lecture dans le désordre de ce petit panorama des secrets et des mystères mathématiques. Jean-Paul Delahaye INTRODUCTION . >J, 5 Persuader de son savoir sans le transmettre En concevant la démonstration comme une discussion entre deux personnes et non plus comme un cours magistral, les preuves sans transfert de connaissance accomplissent des miracles. Q u'est-ce que démontrer en mathé- matiques ? La question paraît élé- mentaire et l'on imagine que, puisque les mathématiciens se la posent depuis plus de deux millénaires, ils doivent savoir ce que cela signifie. En réalité, ce n'est pas si simple et l'on va voir que des perspectives nouvelles ont été créées par l'informa- tique théorique et la cryptographie : nous progressons encore dans notre compré- hension de la variété des démonstrations mathématiques et dans l'analyse de leur capacité. La logique mathématique a donné une réponse précise si on limite la question aux démonstrations écrites qu'un mathé- maticien soumet sur une feuille à un autre mathématicien qui en contrôle l'exacti- tude. La notion de système formel mise au point à la fin du x1 x• siècle et au début du xx• constitue cette réponse universel- lement admise; c'est la forme aboutie de la méthode axiomatique dont l'origine se trouve chez Euclide. Des règles parfaitement précises de mani- pulation des formules sont fixées ainsi que des axiomes, le tout représentant les connaissances évidentes et collectivement acceptées sur le domaine mathématique auquel on s'intéresse. Tout cela définit un système formel. Trouver une démonstra- tion consiste alors à écrire une suite de for- mules telle que chacune est un axiome ou le résultat de l'application d'une des règles 8 J M ATHÉMATIQUES ET MYSTÉ R ES de manipulation. Vérifier une démonstra- tion consiste à passer en revue la suite de formules en s'assurant que les règles du jeu formel ont bien été respectées. Trouver une démonstration est difficile, car les règles du système formel créent une explosion combinatoire de possibilités. Vérifier une démonstration est facile, car il s'agit d'un travail mécanique de contrôle qu'on peut, en principe, confier à une machine. • Des preuves dites interactives Les mathématiciens n'écrivent pas de preuves formelles détaillées, car ce serait long et pénible, mais seulement des esquisses de preuves formelles. Cela ne change pas fondamentalement la situation, car à partir de ce qu'ils écrivent, on peut pro- duire les preuves formelles complètes. D'ail- leurs, des programmes informatiques aident à le faire si l'on y tient absolument. Retenons que trouver une preuve est un travail diffi- cile, alors que la vérifier est mécanisable. Cette conception classique - une propo- sition, un contrôle - n'est cependant pas celle dont le professeur ou le conféren- cier fait l'expérience: il interagit avec ses élèves ou auditeurs. Pour lui, prouver un énoncé mathématique, c'est les convaincre de manière parfaite ou en lais- sant un doute infinitésimal que l'énoncé Le démon de Jean-Jacques Quisquater et Louis Guillou est inspiré du célèbre démon de Maxwell uploads/Science et Technologie/ mathematiques-et-mysteres-2016-jean-paul-delahaye.pdf