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Contenu physique du formalisme Table des matières 1 Postulats généraux 2 2 Spec

Contenu physique du formalisme Table des matières 1 Postulats généraux 2 2 Spectre discret non-dégénéré 3 3 Mesures de deux grandeurs 5 4 Grandeurs incompatibles : inégalité de Heisenberg 6 5 Mesure d’un moment magnétique ; expérience de Stern et Gerlach 6 5.1 Interaction avec un champ d’induction magnétique . . . . . . . . . . . . . . 7 5.2 Description de l’expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . 8 5.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.4 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5.5 Représentations matricielles des composantes du moment magnétique . . . 12 6 Polarisation de la lumière 13 6.1 Polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6.2 Polarisation circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 6.3 Polarisation du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.4 Polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.5 Polarisation circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.6 Transformation des états par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 Cryptographie quantique 17 8 Spectre discret dégénéré 18 9 Ensemble complet d’observables qui commutent 20 10 Opérateur densité 20 10.1 États purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.2 Mélanges statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10.3 Propriétés générales de l’opérateur densité : indice de pureté . . . . . . . . . 22 10.4 Populations et cohérences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 La mécanique quantique a été inventée pour interpréter des expériences réalisées sur des atomes. Contrairement à la vieille théorie quantique, elle a montré sa validité pour l’étude des atomes à plusieurs électrons, les molécules et les solides. Plus tard, elle a per- mis d’étudier avec succès les phénomènes nucléaires ainsi que les particules élémentaires. Conçue pour expliquer des phénomènes à basses énergies (quelques dizaines ou centaines d’eV ), elle a été conﬁrmée à des énergies très élevées (des dizaines de MeV en physique nucléaire et des GeV en physique des particules). Elle a permis de suggérer des expériences et de faire des prévisions qui ont toujours été vériﬁées. Pour faire le lien avec l’expérience il faut se donner des règles d’interprétation du formalisme qui jouent le rôle de postulats de la mécanique quantique. L’approche opérationnelle présentée ici est pratiquement toujours celle qui est utilisée dans un premier cours de mécanique quantique. Elle est connue sous le nom d’interprétation de Copenhague. Malgré ses défauts ou ses insuﬃsances, elle permet d’appliquer de manière eﬃcace la théorie quantique à un grand nombre de situations. L’observateur et la notion de mesure jouent un rôle central dans l’interprétation du formalisme. En physique classique, une théorie peut décrire l’évolution d’un système en faisant abstraction de l’observateur. La mesure peut conﬁrmer ou inﬁrmer la théorie mais elle ne joue pas un rôle essentiel dans l’évolution du système. Selon l’interprétation de Copenhague le monde est divisé en deux parties : un système microscopique et un appareil de mesure macroscopique. Le premier obéit aux lois de la physique quantique tandis que le second obéit aux lois de la physique classique. La physique classique joue donc un rôle central dans la formulation des lois de la physique quantique alors qu’elle en constitue une approximation. Cette séparation arbitraire entre l’objet étudié et l’appareil de mesure ne permet pas d’étudier, par exemple, l’univers dans son ensemble. L’interprétation de Copenhague a fait l’objet de nombreuses critiques pour d’autres rai- sons. En particulier, l’application de la logique quantique au monde macroscopique donne lieu à des situations paradoxales. Les théories alternatives visant à éliminer ces paradoxes n’ont pas connu beaucoup de succès. Une approche plus féconde a consisté à essayer de com- prendre comment la logique quantique applicable aux niveaux atomique et sub-atomique conduit à la logique familière à l’échelle macroscopique. La clé de cette compréhension se trouve dans la notion de décohérence. 1 Postulats généraux Les trois postulats présentés ici concernent tous les systèmes. Ils seront complétés par d’autres qui dépendent de la nature du spectre de la grandeur mesurée. Postulat 1. A chaque instant l’état d’un système est complètement déﬁni par la donnée d’un vecteur d’état |ψ(t)⟩appartenant à un espace de Hilbert qu’on appelle espace des états. En conséquence, la connaissance de ce vecteur permet de calculer toutes les grandeurs mesurables rendant possible la comparaison théorie-expérience. Ce postu- lat implique le principe de superposition des états. Postulat 2. A toute grandeur physique A on associe un opérateur hermitien ˆ A dont les kets propres forment une base de l’espace des états. Cet opérateur est appelé observable. N.B. Certains auteurs utilisent le nom d’observable pour la grandeur physique elle-même. 2 Postulat 3. La mesure d’une grandeur physique ne peut donner comme résultat que l’une ou l’autre des valeurs propres de l’observable associée. Les résultats possibles ne dé- pendent pas de l’état du système. La connaissance du vecteur d’état va permettre de calculer la probabilité de chaque résultat possible. Pour aller plus loin, il faut préciser la nature du spectre de la grandeur mesurée. Nous commencerons par le cas d’un spectre discret non-dégénéré puis nous étudierons le cas d’un spectre discret dégénéré. Le cas d’un spectre continu sera considéré au chapitre 6. 2 Spectre discret non-dégénéré La grandeur mesurée A est représentée par l’observable ˆ A dont les valeurs propres sont toutes non-dégénérées. En notant |φk⟩ses kets propres, l’équation aux valeurs propres s’écrit : ˆ A|φk⟩= ak|φk⟩ (k = 1, 2, . . . , N) Les kets propres étant orthogonaux, il est toujours possible de les normer pour former une base orthonormée de l’espace des états. Tout vecteur peut être développé sur cette base : |ψ⟩= N X j=1 cj|φj⟩ Les valeurs propres représentent les résultats possibles d’une mesure. La connaissance de l’état permet de calculer la probabilité de chacune et d’en déduire l’espérance mathéma- tique de la grandeur mesurée. Postulat 4 (spectre non-dégénéré). La probabilité d’obtenir la valeur propre ak est donnée par : P P P(ak) = |⟨φk|ψ⟩|2 = |ck|2 La somme des probabilités peut s’écrire sous la forme : N X k=1 P P P(ak) = N X k=1 ⟨ψ|φk⟩⟨φk|ψ⟩ Les kets propres de ˆ A vériﬁant la relation de fermeture, l’équation précédente peut s’écrire : N X k=1 P P P(ak) = ⟨ψ|ψ⟩ La normalisation du vecteur d’état entraîne celle des probabilités. L’espérance mathématique de la grandeur mesurée est donnée par : < A >= N X k=1 akP P P(ak) (1) En utilisant l’expression de la probabilité il vient : 3 < A >= N X k=1 ak⟨ψ|φk⟩⟨φk|ψ⟩ (2) A l’aide de la représentation spectrale de l’observable ˆ A, cette relation s’écrit sim- plement : < A >= ⟨ψ| ˆ A|ψ⟩ (3) Dans le cas général il est impossible de prédire le résultat d’une mesure car seules les probabilités sont calculables. Il existe cependant un cas particulier pour lequel le résultat de la mesure est prévisible avec certitude. En eﬀet, si le système est dans un état propre |φn⟩de la grandeur mesurée, on a : P P P(ak) = |⟨φk|φn⟩|2 = δkn La mesure donnera certainement la valeur propre an. Un dernier postulat indique comment un système peut être préparé dans un état donné. Postulat 5 (spectre non-dégénéré). L’état du système immédiatement après la mesure d’une grandeur est représenté par le ket propre de l’observable associée correspondant à la valeur propre trouvée. La mesure a donc pour eﬀet de projeter uploads/Sante/ chapitre-4-contenu-physique-du-formalisme.pdf