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Cours de mécanique analytique MÉCANIQUE ANALYTIQUE 1. Formalisme Lagrangien 1.1

Cours de mécanique analytique MÉCANIQUE ANALYTIQUE 1. Formalisme Lagrangien 1.1. Coordonnées généralisées et référentiels 1.2. Principe variationnel 1.3. Équation d'Euler-Lagrange 1.3.1. Théorème du calcul variationnel 1.4. Formalisme canonique 1.4.1. Transformation de Legendre 1.4.2. Hamiltonien 1.4.3. Crochets de Poisson 1.4.4. Transformations canoniques Nous devons la forme actuelle de la mécanique analytique appelée aussi parfois "mécanique lagrangienne" aux travaux des frères Bernoulli et particulièrement d'Euler et Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraie physique théorique. Au fait, l'événement de départ de la mécanique analytique provient de l'observation suivante (énoncée au 17ème siècle) : Tout système semble évoluer d'un état à un autre toujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur constante entre les deux états. Remarques: R1. Les moyens précités peuvent êtres : le chemin le plus court, le chemin le plus rapide (les trajectoires spatio-temporelles à plus faibles amplitudes en gros...). R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante est choisie comme étant l'énergie. Cet énoncé est appelé dans le cadre de la mécanique "principe de moindre action (de Maupertuis)" ou dans le cadre de la physique générale "principe variationnel" ou encore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'économie" ou "principe de Fermat". Dans le cadre mathématique faisant purement abstraction des concepts physiques, nous parlons de "principe de Hamilton". Plus techniquement, il est aussi formulé de la manière suivante : Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la variation de l'action (voir plus loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle. Au fait, bien que cet énoncé puisse paraître comme cohérent, il peut faire douter mais... nous verrons : 1. Qu'en mécanique classique, nous pouvons démontrer la première loi de Newton en admettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation de l'énergie et nous pouvons expliquer le mouvement de nutation presque tout solide simple. 2. En électromagnétisme, nous retrouverons toutes les équations de Maxwell (in extenso la loi de Biot-Savart, Faraday, force de Lorentz, loi de Laplace, etc.) à partir des propriétés du principe de moindre action et de conservation de l'énergie. 3. En optique, nous démontrerons que le chemin suivi par la lumière est toujours la plus courte et nous permettra donc de démontrer le principe de Fermat à la base de toute l'optique géométrique. 4. En physique atomique, les propriétés du principe de moindre action nous permettront de déterminer certaines propriétés mathématique des atomes et autres particules (les fermions et les bosons en physique quantique des champs). 5. Le principe de moindre action nous permettra également de démontrer que tout corps, avec ou sans masse, est dévié par un champ d'accélération et... permet donc de déterminer l'équation d'Einstein des champs qui est à la base de tout le chapitre sur la relativité générale. 6. Ce principe s'applique également pour obtenir des résultats puissants en géométrie comme nous allons le voir un peu plus loin. Ainsi, les techniques de la mécanique analytique est très intiment liée à la mathématique pure. Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phénoménales de ce principe!! Historiquement, il est intéressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau de Maupertuis qui a énoncé le premier le principe de moindre action sous forme peu scientifique. L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a été de mettre sous forme mathématique ce principe et de démontrer (tenez-vous bien...) qu'il découle d'une simple propriété mathématique des optima des fonctions continues. Il va sans dire, que sachant que cela a permis de redémontrer toutes les lois de la physique en a dérangé plus d'un... Ce principe a eu (et a toujours) des répercussions inimaginables et le problème fut d'appliquer l'expression mathématique de ce dernier à tous les phénomènes physiques qui avaient déjà étés démontrés de façon expérimentale et empirique à l'époque. Effectuer cette démonstration revenait ainsi à expliquer pourquoi tel phénomène ou tel loi était ainsi plutôt qu'autrement. Imaginez ! Ainsi, le premier à s'attaquer au problème fût donc le Bâlois (Suisse) Léonhard Euler. Mais nous avons également gardé le nom de Lagrange (d'où l'appellation : "formalisme lagrangien") pour définir toute la méthode et le formalisme mathématique construit autour du principe de moindre action. FORMALISME LAGRANGIEN MÉCANIQUE ANALYTIQUE 1. Formalisme Lagrangien 1.1. Coordonnées généralisées et référentiels 1.2. Principe variationnel 1.3. Équation d'Euler-Lagrange 1.3.1. Théorème du calcul variationnel 1.4. Formalisme canonique 1.4.1. Transformation de Legendre 1.4.2. Hamiltonien 1.4.3. Crochets de Poisson 1.4.4. Transformations canoniques La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus courante est la formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mécanique Classique). Elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problème concret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter des problèmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des démonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique. La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentes formulations très mathématisées de la mécanique classique, notamment les mécaniques de Hamilton et de Lagrange (toutes ces formulations sont équivalentes!). Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bien l'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peu plus élevé que les méthodes normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieuse dans l'élaboration de théories (physique fondamentale, physique quantique, relativité générale, théorie quantique des champs, théorie des supercordes), il en découle rarement de nouvelles solutions (mais plutôt une réduction et une méthode de validation utile et très puissante). Commençons donc notre travail : COORDONNÉES GÉNÉRALISÉES ET RÉFÉRENTIELS Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace à la seule connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z. Cette attitude est d'ailleurs le plus souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situations rencontrées dans la pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plus élaborées ou de passer dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel). Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il est nécessaire dans un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un "repère" est un système (physique concret) de repérage dans l'espace associé au référentiel. Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des bases d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientés et où chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par ses valeurs d'affixes (la valeur à l'ordoonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur à l'abscisse (projection sur l'axe horizontal). Voici quelques exemples triviaux: (ou plan d'Argand-Cauchy) (29.1) Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle, la distance entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée simplement "abscisse". Définitions: D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare que nous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si : - Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvement du système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel lui même immobile. Donc si on néglige le mouvement de rotation du Soleil autour du centre de la galaxie, alors le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de la Terre autour du Soleil, alors le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen. Si on néglige le mouvement de rotation de la Terre sur elle même, alors le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen. Dans beaucoup d'expériences de mécanique à la surface de la Terre, nous constatons que le référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen avec une très bonne précision. Heureusement qu'il y a quand même un tas de phénomène où il faut tenir compte de la rotation de la Terre (déviation vers l'est, pendule de Foucault...etc.) - Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées (cf. chapitre de Mécanique Classique) D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique) du corps étudié. Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du système solaire, le "repère héliocentrique" appelé aussi "repère de Kepler" au centre d'inertie du Soleil. D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre. Les axes, parallèles à ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce référentiel la Terre tourne sur elle même en 24 [h.]. D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés uploads/Sante/ cours-de-mecanique-analytique-chapitre-2.pdf