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Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.Granier) Olivier

Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Lycée Clemenceau PCSI 1 (O.Granier) Olivier GRANIER Filtres linéaires (1er ordre - 2ème ordre) Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique I - Intérêt de l’étude ; définitions générales : Système linéaire électrique ou mécanique (réseaux électriques, suspensions de voitures, atomes excités par des ondes lumineuses, … Contraintes extérieures Réponse du système Olivier GRANIER lumineuses, … ve(t)=Emcosω ω ω ωt « Filtres » mécaniques ou électriques vs(t)=Smcos(ω ω ω ωt+ϕ ϕ ϕ ϕ) L’analyse harmonique (ou fréquentielle) d’un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t), c’est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu’il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t) dont on fait varier la pulsation ω ω ω ω. Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Filtre du 1er ordre : (vu en SI) ve(t)=Emcosω ω ω ωt Filtre du 1er ordre vs(t)=Smcos(ω ω ω ωt+ϕ ϕ ϕ ϕ) ) ( 1 ) ( ) ( ) ( t v T j K t v j H t v e e s ω ω + = = (Filtre passe-bas) Olivier GRANIER 1 T j e e s ω + Filtre du 2ème ordre : (vu en SI) ve(t)=Emcosω ω ω ωt Filtre du 2ème ordre vs(t)=Smcos(ω ω ω ωt+ϕ ϕ ϕ ϕ) ) ( 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 t v j K t v j H t v e e s ω ω ξ ω ω ω + − = = (Filtre passe-bas) Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Notations et définitions générales : t j j sm s t j em e e e V t v e V t v ω ϕ ω = = ) ( ; ) ( ϕ ϕ ϕ ϕ est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée du filtre. Olivier GRANIER d’entrée du filtre. ϕ ω j em sm e s e V V v v j H = = ) ( H(jω ω ω ω) est la fonction de transfert en tension du filtre : em sm V V j H G = = ) ( ) ( ω ω G(ω ω ω ω) est le gain réel         = = em sm dB V V G G log 20 ) ( log 20 ) ( ω ω GdB(ω ω ω ω) est le gain en décibels Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Diagramme de Bode : GdB ϕ ϕ ϕ ϕ Olivier GRANIER Échelle logarithmique pour ω ω ω ω Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) : 1) Circuit (R,C) : a) Aux bornes de C (filtre passe – bas) : étude qualitative R YA YB En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension) 1 Olivier GRANIER On pose : R C ve vs (Sortie ouverte) de tension) e s v jC R jC v ω ω 1 1 + = ω ω jRC v v j H e s + = = 1 1 ) ( RC 1 0 = ω 0 1 1 ) ( ω ω ω j v v j H e s + = = Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Le gain et le déphasage s’en déduisent : 2 0 1 1 ) (         + = ω ω ω G 0 tan ω ω ϕ − = 0 cos > ϕ      − ∈ 0 , 2 π ϕ Olivier GRANIER 0  ω 0 cos > ϕ Etude asymptotique du gain : dB G et G dB 0 1 ) ( : ) 10 ( 1 0 0 ≈ ≈ < << ω ω ω ω ω         − ≈ ≈ > >> 0 0 0 0 log 20 ) ( : ) 10 ( 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω dB G et G ( ) dB G et G dB 3 2 log 20 2 1 ) ( : 0 0 − ≈ − = ≈ = ω ω ω Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animations Java Diagramme de Bode (voir cours de SI) : log(ω / ω0) ω0 / 100 ω0 / 10 ω0 10ω0 100ω0 Olivier GRANIER GdB Pente de -20 dB/décade ω ω ω ω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3 dB [0,ω ω ω ω0 0 0 0] est la bande passante du filtre Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Animations Java Diagramme de Bode (voir cours de SI) : log(ω/ω0) Olivier GRANIER ϕ −π/2 Filtre passe-bas e s v v Pour = << : 1 0 ω ω Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique 1) Circuit (R,C) : b) Aux bornes de R (filtre passe – haut) : étude qualitative C YA YB En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension) e s v R v 1 + = Olivier GRANIER On pose : R ve vs (Sortie ouverte) e s jC R ω 1 + ω ω ω jRC jRC v v j H e s + = = 1 ) ( RC 1 0 = ω ω ω ω ω ω ω ω 0 0 0 1 1 1 ) ( j j j v v j H e s − = + = = Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique Le gain et le déphasage s’en déduisent : 2 0 1 1 ) (       + = ω ω ω G ω ω ϕ 0 tan = 0 cos > ϕ       ∈ 2 , 0 π ϕ Olivier GRANIER  ω 0 cos > ϕ Etude asymptotique du gain :         ≈ ≈ < << 0 0 0 0 log 20 ) ( : ) 10 ( 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω dB G et G dB G et G dB 0 1 ) ( : ) 10 ( 1 0 0 ≈ ≈ > >> ω ω ω ω ω ( ) dB G et G dB 3 2 log 20 2 1 ) ( : 0 0 − ≈ − = ≈ = ω ω ω Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique log(ω/ω0) Animations Java Diagramme de Bode (voir cours de SI) : ω ω ω ω0 est la pulsation de Olivier GRANIER GdB Pente de 20 dB/décade ω ω ω ω0 est la pulsation de coupure (de cassure) à – 3 dB [ω ω ω ω0 0 0 0, , , ,∞] est la bande passante du filtre Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique π/2 Animations Java Diagramme de Bode (voir cours de SI) : Filtre passe-haut Olivier GRANIER ϕ log(ω/ω0) Filtre passe-haut e s v v Pour = >> : 1 0 ω ω Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) : 2) Circuit (R,L) : a) Aux bornes de R (filtre passe – bas) : étude qualitative En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension) L YA YB Olivier GRANIER On pose : de tension) e s v jL R R v ω + = ω ω R L j v v j H e s + = = 1 1 ) ( L R = 0 ω 0 1 1 ) ( ω ω ω j v v j H e s + = = R YA YB ve vs (Sortie ouverte) Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) : R YA YB 2) Circuit (R,L) : b) Aux bornes de L (filtre passe – haut) : étude qualitative En sortie ouverte : (règle du diviseur de tension) Olivier GRANIER On pose : e s v jL R jL v ω ω + = ω ω ω R L j R L j v v j H e s + = = 1 ) ( L R = 0 ω ω ω ω ω ω ω ω 0 0 0 1 1 1 ) ( j j j v v j H e s − = + = = L ve vs (Sortie ouverte) de tension) Lycée Clemenceau PCSI 1 - Physique II – Filtres du 1er ordre (passifs, sans AOP) : R YA YB 3) Cas d’une sortie « non ouverte » : On reprend l’exemple du circuit (R,L) : la bobine est reliée à une résistance d’utilisation Ru. On se ramène à la règle du diviseur de tension : Olivier GRANIER éq éq éq e s y R R z z v v j H + = + = = 1 1 ) ( ω L R ve vs Ru u éq éq R jL y z 1 1 1 + uploads/Sante/ elec-filtres-lineaires.pdf