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Université M’Hamed Bougara-Boumerdes Licence Mathématiques Faculté des Sciences

Université M’Hamed Bougara-Boumerdes Licence Mathématiques Faculté des Sciences Année universitaire: 2019/2020 Département de Mathématiques Matière: Applications des Maths Applications des Mathématiques aux autres sciences Le savant digne de ce nom, le géomètre surtout, éprouve en face de son œuvre la même impression que l'artiste ; sa jouissance est aussi grande et de même nature Prépare par: NECHIKWIRA FARAI Matricule: 17178ZWE1605 Groupe: 05 Sous la direction de: Mme N.METREF Application des mathématiques 1 Dans cette exposition, je discuterai de l'application des mathématiques dans d'autres disciplines scientifiques. Je me concentrerai sur les applications des mathématiques en physique, sur la base de mes recherches. Application des mathématiques 2 Relation entre les mathématiques et la physique. Les mathématiques et la physique sont deux domaines étroitement liés. Pour les physiciens, les mathématiques sont un outil utilisé pour répondre aux questions. Par exemple, Newton a inventé le calcul pour aider à décrire le mouvement. Pour les mathématiciens, la physique peut être une source d'inspiration, avec des concepts théoriques tels que la relativité générale et la théorie quantique donnant une impulsion aux mathématiciens pour développer de nouveaux outils. Mais en dépit de leurs liens étroits, la recherche en physique et en mathématiques repose sur des méthodes distinctes. En tant qu'étude systématique du comportement de la matière, la physique englobe l'étude du grand et du petit, des galaxies et planètes aux atomes et aux particules. Les questions sont abordées à l'aide de combinaisons de théories, d'expériences, de modèles et d'observations pour soutenir ou réfuter de nouvelles idées sur la nature de l'univers. En revanche, les mathématiques se concentrent sur des sujets abstraits tels que la quantité (théorie des nombres), la structure (algèbre) et l'espace (géométrie). Les mathématiciens recherchent des modèles et développent de nouvelles idées et théories en utilisant la logique pure et le raisonnement mathématique. Au lieu d'expériences ou d'observations, les mathématiciens utilisent des preuves pour étayer leurs idées. Les mathématiques sont un élément essentiel de la résolution de problèmes de physique, mais les experts ne savent souvent pas exactement comment ils les utilisent. Les mathématiques sont peut-être le langage de la science, mais les mathématiques en physique sont un langage distinct de ce langage. Les physiciens ont tendance à mélanger la physique conceptuelle avec le symbolisme mathématique d'une manière qui affecte profondément la façon dont les équations sont utilisées et interprétées. Des recherches menées auprès d'étudiants universitaires en physique dans des classes d'introduction à la physique algébrique indiquent que l'écart entre ce que les étudiants pensent être censés faire et ce que leurs instructeurs attendent d'eux peut causer de graves problèmes. La physique s’occupe donc des phénomènes ‘de base’, mais il est difficile de dire que ce ne sont des phénomènes simples pour autant (voir les phénomènes chaotiques, comme la turbulence). Les MATHEMATIQUES sont omniprésent en physique. Une première raison bien simple, c’est qu’en physique, on fait des mesures. Et que le résultat d’une mesure est un nombre. Les lois physiques sont bien souvent des relations entre ces nombres, et elle s’exprime de façon mathématique. La relation entre les mathématiques et la physique est bien plus profonde. Elles savent traduire les intuitions des physiciens, parce que les mathématiques sont le reflet de notre façon de concevoir le monde. Compter, par exemple, vient très naturellement, et il devient vite clair que 2+2=4, que 2 représente des moutons ou des pièces. Les mathématiques ne font que traduire d’une façon ‘formelle’ ce que notre intuition nous dicte. Application des mathématiques 3 Ainsi, il arrive que des mathématiques abstraites dont on ne sache pas vraiment à quoi elles peuvent servir trouvent une application éclatante en physique. Le meilleur exemple est celui de la relativité générale : il ne faut pas croire qu’Einstein ait tout fait tout seul. Il a su trouver Hilbert, un grand mathématicien, pour lui expliquer la géométrie non-euclidienne. Si les idées physiques, l’intuition, viennent bien d’Einstein, les maths sont plus le fait de Hilbert. Inversement, il arrive que les physiciens ‘’inventent’’ des notions mathématiques. En général, ce qu’ils font n’est vraiment pas rigoureux, mais colle parfaitement à leur intuition. Et comme les mathématiques ne sont jamais loin de leur intuition, les mathématiciens passent ensuite pour essayer de mettre un peu d’ordre et de démontrer rigoureusement ce qu’on fait les physiciens. C’est le cas par exemple avec ce qu’on appelle les intégrales de chemin, ou la renormalisation. Parfois d’ailleurs, on s’aperçoit que la façon de faire des physiciens n’était vraiment pas la meilleure. Mais elle marche, parce qu’elle est issue de l’intuition. Interdépendance des mathématiques et de la physique. Avant de donner une preuve mathématique de la formule du volume d'une sphère, Archimède a utilisé le raisonnement physique pour découvrir la solution (imaginer l'équilibre des corps sur une échelle). À partir du XVIIe siècle, bon nombre des progrès les plus importants en mathématiques sont apparus motivés par l'étude de la physique, et cela s'est poursuivi au cours des siècles suivants (bien qu'au XIXe siècle les mathématiques aient commencé à devenir de plus en plus indépendantes de la physique). La création et le développement du calcul étaient fortement liés aux besoins de la physique: Il y avait un besoin pour un nouveau langage mathématique pour faire face à la nouvelle dynamique qui avait surgi des travaux de savants tels que Galileo Galilei et Isaac Newton. Pendant cette période, il y avait peu de distinction entre la physique et les mathématiques; à titre d'exemple, Newton considérait la géométrie comme une branche de la mécanique. Au fil du temps, des mathématiques de plus en plus sophistiquées ont commencé à être utilisées en physique. La situation actuelle est que les connaissances mathématiques utilisées en physique deviennent de plus en plus sophistiquées, comme dans le cas de la théorie des supercordes. Techniques mathématiques en sciences physiques et physiques (TP) Application des mathématiques 4 Comme mentionné précédemment, la physique ne peut se faire sans mathématiques. Dans ce travail, je voudrais discuter de certaines des mathématiques utilisées dans TP (PP, QFT et THEP), énumérées ci- dessous: 1. Théorie des groupes 2. Calcul. 3. Tenseurs et matrices. 4. Analyse complexe. 5. Topologie. 6. Série infinie. 7. Analyse fonctionnelle. 8. Fonction spéciale. 9. Dynamique non linéaire. 10. Probabilité et statistiques. 11. Espaces vectoriels - Espaces de Hilbert. Et beaucoup plus …. Problèmes de physique Maintenant, nous aimerions discuter de certains problèmes de physique, où les techniques mathématiques ci- dessus sont utilisées. Théorie des groupes Les transformations de symétrie jouent un rôle très important en physique - selon le théorème de Noether, si un L Lagrangien est invariant sous certaines transformations de symétrie, alors il y a des quantités conservées dans le système physique. Un exemple le plus simple - si L est invariant sous translation dans Application des mathématiques 5 l'espace, alors l'impulsion linéaire est conservée. On peut montrer que de telles transformations forment des groupes. Les groupes de rotation forment le groupe SO (n). La conservation des charges électriques est la conséquence de l'invariance sous le groupe U (1), appelée transformations de jauge. La symétrie de la force nucléaire sous l'échange neutron-proton (n − p) a conduit les scientifiques à montrer que la force nucléaire est invariante sous le groupe SU (2), où les représentations fondamentales sont à 2 dimensions (un doublet). ( n p) (1) De même les trois quarks forment une représentation fondamentale de SU (3) ( R V B) (2) Ou ( u d s) (3) Ici, R, V, B représentent les quarks rouge, vert et bleu, et u, d, s sont des types de quarks haut, bas, étranges. Qui est (up, down and strange) en anglais respectivement. En conséquence, nous avons des théories de jauge pour les groupes respectifs U(1)Y , SU(2)L and SU(3)c .Les théories de jauge aident à expliquer les interactions entre les particules fondamentales. De plus, les particules élémentaires peuvent être regroupées selon ces groupes. Chaque groupe a un générateur, et ils obéissent à l'algèbre du mensonge. Par exemple, les trois matrices de Pauli σ1, σ2, σ3 sont génératrices du groupe SU(2): σ1 = ( 0 1 1 0), σ2 = ( 0 −i 0 0 ), σ3 = ( 1 0 0 −1) (4) Et Algèbre de Lie {σj,σk} = 2iεjklσ (5) où εjkl est un tenseur totalement antisymétrique de rang 3. Calcul En fait, le calcul est si fréquemment utilisé en physique - dans toutes les équations de mouvements, pour trouver la trajectoire des particules en résolvant des équations de champ, presque partout la différenciation et l'intégration sont utilisées. L'impulsion linéaire en mécanique quantique est définie comme Application des mathématiques 6 p= -i h ∂ ∂x (8) {σj, σk} = 2iεjklσl (9) et Hamiltonien peut être exprimé en termes de p. L'intégration, la différenciation, l'équation intégrale et différentielle forment la colonne vertébrale de la physique théorique. La mécanique quantique lorsqu'elle est combinée avec les concepts de TSR (Théorie spéciale de la relativité), donne la théorie des champs quantiques. Tenseurs et matrices Les tenseurs sont utilisés, par exemple dans la théorie spéciale de la relativité dans laquelle l'intervalle invariant entre deux événements physiques peut être exprimé comme ds2 uploads/Sante/ expose-sur-l-x27-application-des-math 1 .pdf