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CITATIONS LIT 34 PUBLICATIONS 72 CITATIONS L'utilisateur a demandé l'amélioration du fichier téléchargé. Consultez les discussions, les statistiques et les profils des auteurs de cette publication sur : https://www.researchgate.net/publication/353447793 Interpolation polynomiale et intégration numérique : une brève introduction DOI : 10.13140/RG.2.2.20769.53608 0 255 VOIR LE PROFIL Présentation · Juillet 2021 Développement et analyse mathématique des volumes finis pour la physique complexe Voir le projet 1 auteur : Tout le contenu suivant cette page a été téléchargé par A. Njifenjou le 25 juillet 2021. Certains des auteurs de cette publication travaillent également sur ces projets connexes : A. Njifenjou Université de Yaoundé I Machine Translated by Google Interpolation Polynomiale et Intégration Numérique : Une courte présentation 1) Théorie de l'interpolation polynomiale : motivations physiques, généralités autour de l'interpolation des fonctions, présentation unifiée des points de vue de Lagrange et Hermite­Birkoff, résultat d'existence et d'unicité pour l'interpolation des polynômes dans le contexte général, expression d'erreur et estimations d'erreur en L∞−norme , Conditions de convergence. Interpolation avec les fonctions Spline et les résultats de convergence. A. Njifenjou • Présentation des méthodes d'intégration numériques de base : méthodes du rectangle (formule du point médian et ses variantes), méthode trapézoïdale, méthode de Simpson ; Erreurs de troncature associées. • Versions composites des méthodes numériques de base d'intégration et résultats de convergence. 2) Intégration numérique : Titres : Machine Translated by Google ré A. Njifenjou Interpolation et intégration numérique Figure 1 – Surface génératrice d'une bouteille qui est (globalement) invariante par rotation. Modèle physique n°1 : Reconstruction numérique d'une structure tridimensionnelle globalement invariante par rotation Certaines bouteilles sont des exemples typiques de structures tridimensionnelles globalement invariantes par rotation autour de leurs axes de symétrie respectifs. La capacité volumique totale de la bouteille ; Gf = {(x, y) Ω × R p ; y = f(x), avec x courant dans Ω } 1) La quantité d'eau nécessaire pour remplir la bouteille jusqu'à une hauteur donnée ; , 3) Personne n'est en mesure de déterminer exactement : Le niveau de remplissage de l'eau dans cette bouteille pour une tasse d'eau donnée avec un volume connu ; 2 Listons quelques implications découlant du manque d'information (en terme d'expression analytique) sur la fonction dont le graphe est matérialisé par la ligne rouge sur la figure 1 ci­dessus : Le problème mathématique à résoudre est défini comme suit. On aimerait trouver une approximation (via "interpolation") de la fonction dont le graphique est représenté par la ligne rouge sur la figure 1 ci­ dessous. Rappelons que étant donné une application f de Ω R vers R p le graphe de f est le sous­ ensemble de Ω × R p défini comme : 2) 1 Interpolation avec polynômes pour fonction à valeurs réelles tions 1.1 Quelques motivations physiques Machine Translated by Google A. Njifenjou Interpolation et intégration numérique 1.2 Introduction à l'interpolation avec des polynômes l'eau de pluie (en volume) qui est tombée sur Ω pendant une période de temps donnée. La la bouteille et la densité du matériau dont est faite la bouteille) ; Le polynôme nul est noté 0Rn[X] , ou simplement 0 s'il n'y a pas de risque de confusion. je = 0, ..., n Le centre de gravité de la bouteille et de l'eau qui remplit la bouteille • La détermination (par « interpolation ») d'une approximation de la densité Les points communs reliant les deux modèles physiques précédents sont l'approximation d'une fonction à valeurs réelles et le calcul de son intégrale (dans un état borné). l'utilisation d'instruments de mesure appropriés permet d'obtenir ces grandeurs, bien entendu 3 − ∞ ≤ a < b ≤ +∞ et bien sûr avec éventuellement des inégalités strictes entre −∞ • Le calcul de l'intégrale en Ω de la fonction densité précédemment de Maquette physique n°2 : Gestion des ressources en eau 4) (à savoir l'approximation intégrale). à un "espace bien choisi" noté E tel que : Étant donné une partie bornée Ω de R quantités f(xi)]n sont disponibles dans les deux modèles physiques précédents. En effet, le On note Rn[X] l'espace des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n. [Ln(f)](xi) = f(xi) 5) problème mathématique à traiter ici est de deux ordres : Généralités (1.1) où f est la fonction étudiée et où a ≤ x0 < x1 < x2 < ... < fonction donnant le volume d'eau de pluie par unité de surface pendant la période de temps indiquée. à une hauteur donnée (tous les autres paramètres étant donnés) ; domaine). Le but de cette section est d'exposer les méthodes censées bien répondre aux premier point, c'est­à­dire la théorie de l'interpolation. La section suivante est consacrée au deuxième point etc... , xn−1 < xn ≤ b sont donnés des points sélectionnés sur un intervalle réel donné Ω = (a, b), avec Pour aborder le premier point, il est naturel de chercher une fonction Ln(f) appartenant terminé. Le centre de gravité de la bouteille à vide (connaissant l'épaisseur de on aimerait connaître la quantité totale de et a ou +∞ et b, selon la nature physique du problème. Notez que le 2 je=0 Machine Translated by Google A. Njifenjou Interpolation et intégration numérique Rn[X] 3 v 7→< Fi,0, v >= v(xi) n et 0 ≤ j ≤ αi . je = 0, ..., L'exigence selon laquelle le degré du polynôme Ln(f) doit être inférieur ou égal (1.3) Problème à résoudre : Il faudrait approximer f avec une fonction polynomiale de Présentation unifiée des méthodes de Lagrange et Hermite­Birkoff pour l'interpolation polynomiale de fonctions à valeurs réelles noté =n(f) tel que : ◦ Réglage du problème a ≤ x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn ≤ b. avec des erreurs de mesure que nous supposons négligeables pour la clarté et la simplicité de notre exposé. (1.2) La preuve de cette proposition est fournie dans la sous­section suivante pour une vue plus générale. 4 Le choix de l'espace E dépend de la nature du phénomène physique décrit par la fonction f. L'espace le plus utilisé dans de nombreux problèmes d'ingénierie est l'espace des polynômes Rn[X]. Néanmoins l'espace des polynômes trigonométriques est nécessaire dans les phénomènes de type propagation d'ondes. Dans ce qui suit nous focaliserons notre exposé sur le cas E = Rn[X] qui est un cas particulier important. Quel que soit le choix de l'espace E, la fonction Ln(f) est appelée fonction d'interpolation de f sur l'ensemble des points {xi} n Il semble que Lagrange ait été le premier à aborder le problème de la reconstruction d'une fonction f inconnue à partir de un ensemble donné {(xi , f(xi))} n D'après Lagrange, il est naturel de chercher la fonction d'interpolation Ln(f) dans l'espace des Polynômes Rn[X]. Notons Fi,0 (avec 0 ≤ i ≤ n ) la forme linéaire définie sur l'espace Rn[X] par cadre (voir la proposition 1.2.6). à n est simplement dû au fait que : Définition 1.2.2 Une telle fonction =n(f) est nommée le polynôme interpolateur de f et des points {xi} n Proposition 1.2.1 L'ensemble {Fi,0} n est constitué d'éléments linéairement indépendants de l'espace topologique dual de Rn[X]. sont appelés points d'interpolation. je=0. [=n(f)](j) (xi) = f (j) (xi) je=0 e je=0. je=0 0 Soit f une fonction à valeurs réelles, supposée suffisamment régulière (c'est­à­dire issue de C∞, par exemple) et définie sur un intervalle (a, b), où − ∞ ≤ a < b ≤ +∞. Considérons une famille finie d'entiers positifs {αi} n associée à l'ensemble des points {xi} n de (a, b) telle que {f (j) (xi)}0≤i≤n et 0≤j≤αi soient connu, où f (j) (.) représente la dérivée j de f. Nous adoptons la convention que : f (0)(.) = f(.) et supposons que : je=0 Machine Translated by Google A. Njifenjou Interpolation et intégration numérique (j) (xi) = δikδjl Φ kl RMn [X] 3 v 7→< Fij , 0 ≤ j ≤ αi est constitué d'éléments linéairement indépendants de l'espace topologique dual à RMn [X]. Proposition 1.2.6 Pour 0 ≤ i ≤ n et 0 ≤ j ≤ αi définis comme Fixons­nous Notons que Mn = n dès que αi = 0 pour tout 0 ≤ i ≤ n. Le résultat précédent est donc la réponse au problème d'interpolation posé de manière plus générale. Un problème important à résoudre est la précision de l'approximation d'une fonction f par le polynôme =n(f) ? Nous reviendrons sur cette question après avoir donné quelques résultats préliminaires. , Corollaire 1.2.5 Pour tout couple fixe d'entiers 0 ≤ k ≤ 1 et 0 ≤ l ≤ αk, il existe un unique polynôme Φkl dans RMn [X] tel que Preuve. C'est une conséquence immédiate de la proposition 1.2.4 ci­dessus. Preuve. On commence par remarquer que le cardinal de l'ensemble suivant (de degrés de liberté) {f (j) (xi)}0≤i≤n et 0≤j≤αi est Mn + 1. Considérons l'opérateur linéaire In de RMn [ X] en RMn+1 défini comme remarque 1.2.3 Lorsque tous les entiers αi sont égaux à zéro, le problème précédent est un problème d'interpolation de Lagrange. Sinon, c'est un problème d'interpolation Hermite­Birkoff. l'ensemble des uploads/Sante/ interpolation-polynomiale-et-integration-numerique-une-breve-introduction.pdf

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• Détails
• Publié le Fev 15, 2021
• Catégorie Health / Santé
• Langue French
• Taille du fichier 1.3730MB