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ESCPI – EI4 Traitement Numérique du Signal ESCPI- CNAM EI 4 Février 2006 M. Ter

ESCPI – EI4 Traitement Numérique du Signal ESCPI- CNAM EI 4 Février 2006 M. Terré, terrre@cnam.fr L. Féty, fety@cnam.fr ESCPI EI4 Traitement Numérique du Signal 2 1 INTRODUCTION AUX SIGNAUX ALEATOIRES ..................................................................................... 3 2 ANALYSE SPECTRALE.................................................................................................................................. 6 2.1 PROBLEMATIQUE DE L'ANALYSE SPECTRALE................................................................................................ 6 2.2 ESTIMATION SPECTRALE NON PARAMETRIQUE ............................................................................................. 6 2.2.1 Périodogramme, Corrélogramme........................................................................................................ 6 2.2.2 Méthode du minimum de variance: méthode de Capon..................................................................... 11 2.3 ESTIMATION SPECTRALE PAR DECOMPOSITION HARMONIQUE ..................................................................... 12 2.3.1 Méthode de Pisarenko: ...................................................................................................................... 12 2.3.2 Méthode de Prony:............................................................................................................................. 14 2.4 ESTIMATION SPECTRALE PARAMETRIQUE.................................................................................................... 16 2.4.1 Modélisation AR................................................................................................................................. 18 2.4.2 Modélisation MA................................................................................................................................ 25 2.4.3 Modélisation ARMA........................................................................................................................... 26 2.5 CONCLUSION............................................................................................................................................... 27 3 FILTRAGE ADAPTATIF .............................................................................................................................. 28 3.1 INTRODUCTION ET PRINCIPAUX RESULTATS ................................................................................................ 28 3.2 DEMONSTRATION DE LA SOLUTION OPTIMALE ............................................................................................ 30 3.3 ALGORITHME LMS..................................................................................................................................... 34 3.4 ALGORITHME RLS...................................................................................................................................... 39 3.4.1 Algorithme des moindres carrés récursifs rapides (Fast Kalman) .................................................... 41 3.5 ALGORITHME DU TREILLIS SPATIAL ........................................................................................................... 43 3.5.1 Principe.............................................................................................................................................. 43 3.5.2 Décomposition LDU .......................................................................................................................... 43 3.5.3 Erreur a priori, erreur a posteriori.................................................................................................... 44 3.5.4 Mise à jour des matrices L et D. ........................................................................................................ 45 3.5.5 Algorithme.......................................................................................................................................... 51 3.6 CONCLUSION............................................................................................................................................... 52 4 BIBLIOGRAPHIE........................................................................................................................................... 53 ESCPI EI4 Traitement Numérique du Signal 3 1 Introduction aux signaux aléatoires La démarche la plus intuitive et naturelle pour représenter un signal consiste à exprimer la valeur de ce dernier au cours du temps. La variable choisie est alors le temps t et le signal s'exprime sous la forme d'une fonction x(t). Lorsque la fonction ( ) t x est parfaitement déterminée, on parle de signal déterministe. De tels signaux ont été rencontrés à de nombreuses occasions lors des cours précédents. On s'est ainsi intéressé aux signaux sinusoïdaux : ( ) ( ) t t x ω = sin ou à des signaux échelons : ( ) ( ) t U t x = ou encore à d'autre types de signaux. Cependant, lorsque l'on s'intéresse à des signaux réels, comme la valeur d'une tension aux bornes d'une résistance ou à la valeur du courant parcourant une antenne ou à d'autres exemples; on conçoit bien que les valeurs du signal observé vont être fonction d'une multitude de phénomènes. Si l'on reprend l'exemple de la résistance, la valeur de la tension va varier continuellement autour d'une valeur moyenne en fonction de l'agitation des électrons, pour une antenne l'environnement électromagnétique va être responsable de nombreuses variations et l'on conçoit intuitivement qu'il est impossible de déterminer de manière tout à fait exacte la valeur du signal ( ) t x . On formalise alors le signal comme étant une variable aléatoire qui évolue dans le temps et l'on parle de processus aléatoire. En formalisant on pourrait introduire la variable aléatoire ( ) t X et la distinguer de ( ) t x qui représente la valeur prise par cette variable aléatoire à l'instant t. Dès lors l'ensemble des valeurs du signal ( ) t x est considéré comme étant une réalisation particulière d'un processus aléatoire. Dès que l'on introduit cette notion de variable aléatoire on conçoit que l'on va s'intéresser très rapidement aux probabilités liées à cette variable aléatoire, à sa densité de probabilité si la variable est continue et enfin à ses moments statistiques (moyenne, covariance, et éventuellement des moments d'ordres plus élevés). Un exemple typique, qui sera repris plus en détail dans la suite du cours, est le cas du bruit blanc gaussien que l'on rencontre très souvent dans les problèmes de traitement du signal et de communications numériques. Or ce signal particulier est justement défini par les adjectifs blanc et gaussien qui caractérisent parfaitement sa densité de probabilité (gaussien) et ses moments d'ordre deux (blanc). Partant dorénavant de signaux aléatoires, ce qui est le cas le plus général que l'on puisse envisager, nous allons dès maintenant considérer un sous ensemble de ces signaux qui seront les signaux stationnaires. Définition de la stationnarité : Un signal aléatoire est défini à chaque instant t par la loi de probabilité de son amplitude ( ) t X . Cette loi de probabilité peut s'exprimer par une densité de probabilité ( ) t x p X , définie de la manière suivante : ( ) [ ] x x x t X x t x p 0 x X ∆ ∆ + ≤ ≤ = → ∆ ) ( Prob lim , (1.) Le signal est stationnaire si ses propriétés statistiques sont indépendantes du temps, c'est à dire, si sa densité de probabilité est indépendante du temps : ESCPI EI4 Traitement Numérique du Signal 4 ( ) ( ) x p t x p X X = , (2.) Définition d'un signal du second ordre : Le signal sera dit du second ordre s'il possède un moment d'ordre 1 appelé valeur moyenne, qui est l'espérance mathématique de ( ) t X , notée ( ) [ ] t X E et définie par : ( ) [ ] ( ) ∫ +∞ ∞ − = = dx t x p x t X E t m X 1 , . ) ( (3.) et un moment d'ordre 2, appelé fonction de covariance : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∫ ∫ ∞ + ∞ − +∞ ∞ − = = 2 1 2 1 2 1 X 2 1 2 1 2 1 2 dx dx t t x x p x x t X t X E t t m , ; , . , , (4.) où ( ) 2 1 2 1 X t t x x p , ; , est la densité de probabilité du couple de variables aléatoires ( ) ( ) [ ] 2 1 t X t X , . Définition de la stationnarité à l'ordre 2 : Le caractère de stationnarité peut être limité aux moments du premier et du second ordre, on dit alors que le signal est stationnaire à l'ordre 2. On a alors : [ ] ( ) ∫ +∞ ∞ − = = dx x p x t X E m X 1 . ) ( , 1 m constante indépendante du temps Pour l'ordre 2, l'indépendance du temps s'écrit : ( ) ( ) ( ) τ = − = ; , , ; , , ; , 2 1 X 1 2 2 1 X 2 1 2 1 X x x p t t 0 x x p t t x x p avec 1 2 t t − = τ (5.) Seul intervient l'écart entre les deux instants d'observation. On introduit alors la fonction d'autocorrélation ( ) τ XX r du signal aléatoire : ( ) ( ) ( ) [ ] τ − = τ t X t X E rXX (6.) La réalisation ) (t x du signal aléatoire ( ) t X possède aussi une moyenne temporelle T m définie par : ∫ + − ∞ → = T T T T dt t x T 2 1 m ) ( lim (7.) Définition de l'ergodicité d'un signal stationnaire à l'ordre 2 : On dira que le signal est ergodique lorsque que l'on peut confondre la moyenne temporelle T m avec la moyenne 1 m : ∫ + − ∞ → = T T T 1 dt t x T 2 1 m ) ( lim (8.) et lorsque que l'on peut calculer la fonction d'autocorrélation de la même manière, c'est à dire : ESCPI EI4 Traitement Numérique du Signal 5 ( ) ∫ + − ∞ → τ − = τ T T T xx dt t x t x T 2 1 r ) ( ) ( lim (9.) Ce résultat a des conséquences pratiques très importantes car il va permettre d'accéder aux propriétés statistiques du signal à un instant donné à partir de l'observation de ce signal au cours du temps. Les développements précédents ont essentiellement concerné des signaux à valeurs réelles. Ces signaux correspondent intuitivement et physiquement à la plupart des signaux rencontrés. Lorsque l'on considère une valeur de tension ou de courant et que l'on se place derrière un convertisseur analogique numérique, les signaux sont bien entendu réels. Cependant, dans bien des cas, en particulier en communications numériques, on sera amené à traiter des enveloppes complexes de signaux modulés (voir aussi la définition du signal analytique). Il est donc nécessaire, afin de ne pas restreindre la généralité de la suite des algorithmes et méthodes présentées dans ce cours, de considérer dorénavant des signaux à valeurs complexes. De plus on a jusqu'alors bien séparé le processus ) (t X et sa réalisation ) (t x . Cependant afin d'éviter de confondre le processus et la Transformée de Fourier ) ( f X de sa réalisation, on abandonnera à partir de maintenant la notation ) (t X . Le lecteur avisé sera à même de comprendre les écritures du type [ ] ) (t x E comme l'espérance de la variable aléatoire. Résumé : Le signal aléatoire ( ) t x est une réalisation d'un processus aléatoire. Le signal sera considéré comme uploads/Sante/ traitement-numerique-du-signal.pdf