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Ondes mecanique Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion PC Les ondes dans les solides et La Dispersion Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations a ?ectant un système possédant un grand

Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion PC Les ondes dans les solides et La Dispersion Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations a ?ectant un système possédant un grand nombre de degré de liberté Dans ce chapitre nous étudions le comportement vibratoire d ? une cha? ne d ? oscillateurs mécaniques constituée d ? un nombre in ?ni N de masses Les vibrations vont se propager depuis le point o? elles ont pris naissance suite à une perturbation initiale I L ? équation d ? onde Mise en évidence de l ? équation d ? onde Pour mettre en évidence la structure mathématique du phénomène ondulatoire nous allons étudier le système constitué d ? une cha? ne in ?nie d ? oscillateurs identiques composés de masses m et de ressorts de raideurs K montés en série Figure Nous supposerons dans un premier temps que les masses ne peuvent se mouvoir que dans la direction longitudinale Nous supposerons également que les longueurs d ? ondes des vibrations sont ??grandes ? par rapport à l ? espacement moyen entre les masses En notant a la longueur naturelle de chaque ressort à l ? équilibre et Xn l ? écart de la masse numéro n par rapport à sa position d ? équilibre on peut établir l ? équation du mouvement de la masse numéro n qui interagit uniquement avec les premiers proches voisins On constate que l ? équation du mouvement pour la masse n implique la position de la masse n à travers la fonction et sa dérivée seconde Cependant cette équation di ?érentielle contient aussi une dépendance par rapport aux positions des masse voisines à travers les fonctions et Les équations di ?érentielles régissant l ? évolution des masses sont donc couplées Il est donc nécessaire de découpler ces équations Adoptons à présent les notations indiquées sur la Figure La fonction X est désormais une fonction continue dépendant des deux variables x et t et nous l ? échantillonnons aux positions x-a et x a et à l ? instant t On prendra donc garde à remplacer les dérivées simples par rapport au temps t par des dérivées partielles CAhmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion PC L ? équation du mouvement devient alors On a supposé que a est ??petit ? ce qui permet d ? e ?ectuer les développements limités suivants Gr? ce à ces développements limités on est maintenant capable de relier les positions des masses voisines à travers une unique fonction X Cette équation peut être réécrite sous la forme Avec Cette équation aux dérivées partielles est l ? équation d ? onde ou équation de d ? Alembert Cette équation relie la dérivée seconde par rapport au temps t et la dérivée seconde par rapport à la variable d ? espace x Le fait que la fonction X position d ? une masse située en x au cours du temps t véri