Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

32 INSA 3GE JM RETIF Modélisation par variables d’état © [JM. RETIF], [2008], I

32 INSA 3GE JM RETIF Modélisation par variables d’état © [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés. INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs 33 LES BOND GRAPHS 1. Préambule. Le bond graph est un langage graphique qui constitue un intermédiaire entre le système physique que l’on étudie et la formulation mathématique nécessaire à sa modélisation. La conception d’un bond graph ou graphe de liens repose sur l’échange d’énergie entre les éléments du système étudié et s’appuie sur la notion de causalité. Cette prise en compte de la causalité représente un avantage majeur de cette approche. D’autres formalismes, tels les graphes de fluences ou les graphes d’interconnections de ports, ne prennent pas en compte cet aspect. Afin de préciser cette notion de causalité nous prendrons deux exemples : Si nous sommes dans le domaine mécanique, pour une masse en mouvement, la force constitue la cause et la vitesse l’effet. En électronique, l’évolution de la tension aux bornes d’un condensateur est la conséquence du courant le traversant. La méthodologie des bond graphs suppose que le système soit à paramètres localisés, dans ce cas, il est possible de décomposer l’ensemble étudié en éléments appelés ports. Entre ces ports l’énergie est transmise, celle-ci se décomposant entre un effort et un flux, ces dénominations générales pourront se décliner dans plusieurs domaines de la physique. Cette dernière remarque constitue un autre atout de la représentation d’un système par bond graphs. En effet, il sera possible avec le même formalisme, de représenter des phénomènes électriques, mécaniques, thermiques, chimiques … Avant d’entrer dans les détails du formalisme par bond graph nous allons spécifier ses principales caractéristiques. C’est un langage unifié quelque soit le domaine physique considéré. Il est basé sur une formulation énergétique des échanges entre les sous systèmes ; Afin de décrire la variété des phénomènes dans différents domaine de la physiques une typologie d’éléments que nous détaillerons ultérieurement est définie. Source idéale d’énergie Stockage d’énergie Dissipation d’énergie Transformation et conversion de l’énergie 2. Liens et ports. 2.1 Définitions. Comme nous venons de l’entrevoir, cette approche permet de représenter les échanges d’énergie en terme de flux et d’effort entre les éléments du système physique appelé ports. Ainsi si le véhicule A entraîne la charge B, la force de traction F sera l’effort et la vitesse le flux ; la demi-flèche donne alors le sens de passage de l’énergie. A B V I F F Circuit B Circuit A V U Entraînement mécanique Circuits électriques A B A B F V U I Figure 2-1 Conventions d’un lien © [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés. INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs 34 Dans le domaine électrique, lorsque le circuit A alimente le circuit B, la tension U représente l’effort et le courant I le flux (au sens des bond graphs). Pour résumer, si deux composants d’un système physique s’échangent de l’énergie. Par convention la demi-flèche appelée lien indique le sens du transit. Pour ce sens, le transfert de la puissance sera considéré comme positive. Par convention, A sera le port d’entrée et B le port de sortie. A B A B e f A B e f Port de sortie Port d'entrée effort flux Figure 2-2 Représentations d’un lien entre deux ports Le lien comportera deux grandeurs, la variable de flux notée f est une variable extensive et correspond à un nombre de particules par unité de temps. La variable d’effort, notée e est une variable intensive indépendante de toute quantité de matière. La variable f de flux est notée du coté de la demi-flèche et l’effort e sur le coté opposé. Le produit de l’effort par le flux représente la puissance échangée. Lors de l’élaboration d’un bond graph, chaque élément est schématisé par un ensemble de ports communiquant par des liens indiquant le sens de transfert de la puissance. Pour des ensembles importants, il est parfois utile de faire une analyse plus macroscopique en définissant des sous-systèmes, dans ce cas le bond graph à mots est utilisé. Afin d’illustrer cette approche, pour un véhicule électrique, une analyse par bond graph à mots donne la décomposition suivante : Onduleur Batterie Batterie tension Courant Moteur tension Courant Couple Vitesse angulaire tension Courant Boite de vitesse Transmission Couple Vitesse angulaire vitesse force Véhicule & Environnement Figure 2-3 Bond graph à mots 2.2 Expressions de la puissance et de l’énergie. A partir des grandeurs de flux et d’effort d’autres variables peuvent être définies : 2.2.1 La variable de puissance (P) La puissance échangée résulte du produit d’un flux par un effort. P = ⋅ e f Exemples : En mécanique l’effort, est la force ou le couple et le flux la vitesse linéaire ou angulaire, nous aurons dans ce domaine les expressions classiques P F V = ⋅ avec la force en newton et le flux en m/s. P C = ⋅ω Ici la force correspond au couple en Nm et le flux à la vitesse angulaire en rad/s. © [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés. INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs 35 2.2.2 La variable de moment généralisé p(t). Le moment généralisé noté p(t) correspond à l’intégrale de l’effort. ( ) ( ) t 0 (t) e d 0 = τ τ + ∫ p p Exemples : Domaine électrique. Ici l’effort et le flux sont représentés, respectivement par la tension et le courant, il vient : ( ) ( ) t 0 (t) V d 0 = τ τ + ∫ p p . Domaine mécanique. Pour un mouvement de translation, l’effort est la force et le flux la vitesse linéaire. Dans le cas d’une translation ( ) ( ) t 0 (t) F d 0 = τ τ + ∫ p p . Ici, le moment généralisé p(t) représente l’impulsion en Ns. Pour les mouvements de rotation, l’effort est le couple et le flux la vitesse de rotation angulaire. En rotation ( ) ( ) t 0 (t) C d 0 = τ τ + ∫ p p et le moment généralisé p(t) sera l’impulsion angulaire en Nms. 2.2.3 La variable de déplacement généralisé q(t). Cette notion de déplacement est la grandeur duale du moment généralisé. Cette variable s’exprime par l’intégrale du flux soit : ( ) t 0 (t) ( ) d 0 = τ ⋅τ + ∫ q f q Exemples : Domaine électrique. Comme nous l’avons vu précédemment, l’effort et le flux correspondent respectivement à la tension et au courant. ( ) ( ) t 0 (t) I d 0 = τ τ + ∫ q q . Dans le domaine électrique le déplacement représente la charge en Coulomb. Domaine mécanique. Pour un mouvement de translation ( ) ( ) t 0 (t) V d 0 = τ τ + ∫ q q . L’intégrale de la vitesse est ici le déplacement exprimé en m. 0 t 0 t x(t) x V( ) d = + τ ⋅τ ∫ . C’est de la particularité, de cette variable dans le domaine mécanique, que vient la dénomination de déplacement. Pour un mouvement en rotation ( ) ( ) t 0 (t) d 0 = ω τ τ + ∫ q q © [JM. RETIF], [2008], INSA de Lyon, tous droits réservés. INSA 3GE JM RETIF Les Bond Graphs 36 L’intégration de la vitesse angulaire donne l’angle, dans ce domaine le déplacement correspond donc à la rotation angulaire exprimée en rad. 0 t 0 t (t) ( ) d θ = θ + ω τ ⋅τ ∫ 2.2.4 Variable d’énergie E(t). L’énergie correspond à l’intégration de la puissance . ( ) ( ) ( ) t 0 E(t) e f d E 0 = τ τ τ + ∫ Exemples : Domaine électrique. Dans le domaine électrique nous aurons : ( ) ( ) ( ) t 0 E(t) V I d E 0 = τ ⋅ τ τ + ∫ Domaine mécanique. Pour un mouvement de translation l’effort est la force et le flux la vitesse linéaire. En rotation l’effort est le couple et le flux la vitesse de rotation. En translation ( ) ( ) ( ) t 0 E(t) F V d E 0 = τ ⋅ τ τ + ∫ . En rotation ( ) ( ) ( ) t 0 E(t) C d E 0 = τ ⋅ω τ τ + ∫ . 2.3 Variables de flux et d’effort. Résumé des variables d’effort et de flux Domaine Effort e Flux f Moment p Déplacement q Electrique La tension en Volt Le courant en ampère Impulsion p en V.s Magnétique La force magnétomotrice La dérivée du flux magnétique Le flux magnétique Mécanique translation La force en N La vitesse en m/s Impulsion p en N.s Déplacement en mètre Mécanique rotation Le couple en Nm La vitesse en rad/s Impulsion p en N.m.s Angle en radian Hydraulique Pression en Pascal ( 2 N / m ) Débit Volume en 3 m Thermique Température °K Dérivée de l’entropie S uploads/Sante/ les-bonds-graph-pdf.pdf