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Mécanique Statique : Introduction .............................................

Mécanique Statique : Introduction ..................................................................................................................................................... 2 Statique : Principe fondamental de la statique ..................................................................................................................................................... 4 Statique : Statique du solide ..................................................................................................................................................... 8 Cinématique : Introduction ..................................................................................................................................................... 9 Cinématique : Mouvement de translation ................................................................................................................................................... 12 Exercice : Mouvement rectiligne uniformément accéléré ................................................................................................................................................... 16 Cinématique : Mouvement de rotation ................................................................................................................................................... 20 Cinématique : Centre instantané de rotation ................................................................................................................................................... 25 Cinématique : Théorème de l'équiprojectivité ................................................................................................................................................... 26 Cinématique : Applications: cinématique analytique ................................................................................................................................................... 28 Cinématique (Expert) : Géométrie des systèmes mécaniques ................................................................................................................................................... 30 Cinématique (Expert) : Introduction à la cinématique - Dérivation d'une fonction vectorielle ................................................................................................................................................... 39 Exercice : Matrice de passage -Vecteur Déplacement .............................................................. 41 Exercice : Torseur des petits déplacements ................................................................................................................................................... 45 Dynamique : Lois de Newton ................................................................................................................................................... 47 Énergétique : Travail et puissance d'une action mécanique ................................................................................................................................................... 48 Énergétique : Rendement d'un système ................................................................................................................................................... 50 1 Statique : Introduction Sommaire • 1 Introduction • 2 Statique du point o 2.1 La notion de « force » o 2.2 La notion d'« équilibre » • 3 Statique du solide • 4 Statique des fluides Introduction La plupart des phénomènes physiques ne sont pas fixes : les planètes se déplacent, une bougie brûle, une pomme lâchée d'un arbre tombe. Néanmoins, il existe des situations où, aussi longtemps qu'on attendre, un système étudié reste identique à lui-même : la bougie complètement consommée, la pomme une fois tombée au sol… L'étude de ces cas permet de trouver des conditions pour qu'un système (par exemple, un édifice) reste au repos (et ne s'effondre pas) lorsqu'il est laissé à lui-même. Statique du point La statique du point sera notre point de départ pour l'étude de la statique. On y fait l'hypothèse que le système étudié est un point matériel qui subit des forces. La notion de « force » L'hypothèse première de la statique est que des objets agissent entre eux par des « forces ». Celles-ci peuvent être plus ou moins intenses, et s'exercer plus ou moins loin de l'objet qui les crée. Par exemple, la Terre exerce une force attractive sur la Lune, à plusieurs centaines de milliers de kilomètres — ou un aimant exerce une force attractive sur une aiguille située à une dizaine de centimètres. Il existe différentes forces, qui ne sont pas toujours simplement « attractives » ou « répulsives ». Nous en préciserons quelques unes parmi les plus simples. Elles ont pour effet de « faire bouger » le point sur lequel elles s'appliquent. On représente les forces par des vecteurs, qui indiquent : • la direction vers laquelle la force s'exerce ; • l'intensité de la force. 2 Nous n'utiliserons pas de résultats avancés concernant les vecteurs. La notion d'« équilibre » La statique étudie les systèmes pour voir s'ils sont en équilibres (ou comment les mettre en équilibre). On parle d'équilibre statique : une boîte de crayons posée sur une table est en équilibre statique. En revanche, un enfant qui fait du vélo ne tombe pas — il s'agit d'un équilibre dynamique, que cette leçon n'étudie pas : il faut donc garder à l'esprit que la statique ne permet pas d'étudier tous les équilibres. D'autre part, du point de vue de la statique, un couteau posé sur sa pointe exactement est en équilibre — quiconque a déjà effectué l'expérience sait bien qu'une telle chose est difficile, si seulement elle est possible. En fait, cet équilibre est « instable » : si on n'est pas exactement sur la pointe, le couteau tombe. Un équilibre « stable » en revanche, comme par exemple le couteau posé à plat sur la table, ne nécessite pas d'ajustement particulier. En ce sens, un équilibre « stable » est plus naturel. La prise en compte de cette notion de stabilité dépasse le cadre de la statique, car il faut supposer des cas où le système bouge… ce n'est donc pas l'objet de cette leçon, mais il faut garder à l'esprit que certains résultats de la statique ne sont pas réalisables. Statique du solide La mécanique du solide étend les résultats de la mécanique du point à des systèmes solides ne se déformant pas. On peut alors énoncer des théorèmes similaires, donnant accès à l'étude de la stabilité, par exemple, des pièces dans un mécanisme. L'objet d'étude de base est le solide, quelle que soit sa nature. Nous supposons que les résultats de statique du point sont bien connus. Nous rappellerons la notion de moment, qui sera nécessaire à cette étude. Statique des fluides Les fluides sont des objets physiques complexes. La statique des fluides permet d'étudier certains cas et d'établir des résultats simples de mécanique des fluides. 3 Statique : Principe fondamental de la statique Sommaire • 1 Introduction • 2 Formulation vectorielle • 3 Quelques forces simples o 3.1 Forces usuelles o 3.2 Forces de réaction • 4 Principe d'action-réaction • 5 Théorème du moment • 6 Exemples Introduction La statique peut être résumée à un unique principe physique, appelé principe fondamental de la statique : Principe fondamental de la statique Un système est à l'équilibre si et seulement si l'effet de toutes les forces qui s'exercent sur lui est nul. Nous allons préciser cet énoncé, en incluant notamment les forces sous forme de vecteurs. Ce principe est tellement général, qu'il s'étend sur plusieurs domaines : la mécanique du point, la mécanique du solide et la mécanique des fluides. Nous donnons dans ce chapitre la formulation adaptée à la mécanique du point, plus simple. Un chapitre dédié précisera les énoncés plus spécifiques. Formulation vectorielle Les forces qui s'exercent sur un point matériel peuvent être représentées par des vecteurs. En plus des propriétés des vecteurs (direction, sens et longueur), la physique attribue aux forces un point d'application. Pour un point, le point d'application des forces qui s'exercent sur lui, c'est lui-même. Les forces se cumulent : elles s'additionnent. Lorsqu'il n'y a pas de force, il est équivalent de dire qu'il s'exerce une force nulle : 4 Si le système vérifie le principe fondamental de la statique, l'effet combiné de toutes les forces est le même que l'effet d'aucune force. Par conséquent, l'ensemble des forces s'exerçant est équivalent à la force nulle : On utilise la notation mathématique « somme » pour donner une formule plus élégante. Cette notation est inspirée des mathématiques. Voici ce que donne cette notation pour un exemple : (Cela se lit « somme pour i de 1 à 4 des i au carré). En physique, puisqu'on ne sait pas jusqu'à combien de forces peuvent s'appliquer, on ne place pas de limite au dessus du symbole « somme » : En conclusion, le principe fondamental de la statique s'écrit, en mécanique du point : Principe fondamental de la statique Un système physique soumis à des forces est en équilibre statique si et seulement si l'ensemble des forces vérifie : Quelques forces simples Forces usuelles Nous présentons quelques exemples classiques de forces simples, d'usage courant. On se place dans le cas usuel d'un mouvement selon une seule dimension, x. Le vecteur unitaire pointe vers les x croissants. Le point matériel étudié est situé en x et de masse m. • Ressort : (loi de Hooke) avec k une constante appelée constante de raideur et x₀ la longueur à vide du ressort, c'est-à-dire la longueur qu'il a au repos. • Gravité : o Dans le champ terrestre : (la terre étant dans la direction des x négatifs), g étant l'intensité du champ de pesanteur (g = 9,81 m.s⁻²) ; 5 o Cas général : (la Terre étant située en x = 0), G étant la constante de gravitation, M la masse du corps créant la force de gravité. Forces de réaction Toutes les forces ne se ramènent pas à l'un des cas précédent. Nous montrons ici qu'il existe des forces indépendantes de leur cause et origine, appelées forces de réaction. La première étape est de se poser la question suivante : peut-il exister un équilibre avec une seule force ? D'après le principe fondamental de la statique : Une seule force peut mener à un équilibre si et seulement si... elle n'a aucun effet. Conclusion première : pour avoir un équilibre, il faut qu'il existe au moins deux forces. Étudions maintenant le cas d'une boîte de crayons posée sur une table. Elle ne bouge pas : elle est en équilibre. Donc, d'après ce qui précède, deux forcent au moins s'exercent sur la boîte. Une force évidente est la gravité, que l'on note F... mais quelles seraient les autres ? Puisque les forces s'additionnent, on peut tout à fait dire qu'une seule autre force s'applique, appelons- la R. D'après le principe fondamental : Donc : Il s'exerce sur la boîte une force exactement inverse à celle de la gravité, qui l'empêche de passer à travers la table : c'est une « force de réaction ». Principe d'action réaction La Terre attire la pomme — mais pourquoi est-ce dans ce sens ? Eh bien... ça ne l'est pas. La pomme attire la Terre autant que la Terre attire la pomme, ce n'est pas une question uploads/Sante/ mecanique 1 .pdf