Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 ©Pierre Amiot ©2015 Physique, génie physique et optique Université Laval, Qué

1 ©Pierre Amiot ©2015 Physique, génie physique et optique Université Laval, Québec. Une introduction opérationnelle aux tenseurs irréductibles sous rotation et à leurs produits. Note : on devrait lire les tutoriels sur les tenseurs et les harmoniques sphériques avant le présent et celui sur la théorie des groupes avant ou en parallèle, ou leurs équivalents, avant d’attaquer le présent tutoriel. Ils sont publiés dans la rubrique <Documents pédagogiques> sur la page https://www.phy.ulaval.ca. Ce tutoriel est destiné à ceux qui veulent lire la littérature et comprendre le vocabulaire et, d’une moindre façon, introduire ceux qui ont besoin d’utiliser ces outils dont l’algèbre est aujourd’hui largement le fait d’applications spécialisées. Cette introduction est donc faible en démonstrations et favorise les exemples illustratifs, elle n’est pas une présentation systématique et savante. Il n’est pas question ici de théorèmes ni de démonstrations, Les lecteurs intéressés à une présentation rigoureuse sont invités à se référer à la littérature savante. 1. Introduction Le sujet des tenseurs irréductibles est généralement traité en dehors du cadre habituel de présentation des tenseurs. Il est très peu utilisé dans des domaines comme la relativité, ordinaire et générale, ni en électromagnétisme (quoique !), mais il est très utile en physique microscopique, comme la physique atomique, nucléaire ou subatomique et en général en mécanique quantique. C’est peut-être pourquoi il apparaît plutôt dans les livres sur la théorie des groupes en physique ou ceux portant sur la mécanique quantique où ces objets sont particulièrement utiles. 2 Dans le module sur les Tenseurs, nous insistons sur leur définition à partir de leurs propriétés de transformation générales et faisons une brève introduction aux tenseurs irréductibles. Pour parler de tenseurs irréductibles, il faut se limiter à quelques (famille de) transformations et, dans un grand nombre de cas en physique, ce sont surtout les transformations de rotation en 3-D (groupe O(3)) et ce sont celles qui seront au centre de notre attention ici et qui nous serviront d’exemple, à cause de leur proéminence dans les applications de physique, en particulier quantique. Ce groupe sera notre exemple premier d’introduction aux différents concepts concernant les tenseurs irréductibles. Les tenseurs irréductibles des groupes SU(2) et de SU(3) sont aussi très importants en physique subatomique. Dans cette introduction, nous insisterons surtout sur le groupe O(3) et sur les transformations de rotations (et dirons un mot de SU(2)). Le rôle important des rotations vient du fait que notre Univers a 3 dimensions spatiales et est essentiellement invariant sous rotation spatiale d’observation, i.e. notre vision de l’univers reste invariante si on change l’orientation d’observation. Nos lois physiques doivent respecter cette propriété, en effet elles sont aussi valides en Australie ou sur Neptune, sur Andromède (on l’espère !) ou… qu’ici. En fait il est plus que raisonnable de penser qu’elles sont indépendantes de l’angle/orientation sous lequel nous étudions l’Univers. C’est donc le cadre dans lequel nous travaillerons ici, mais on peut refaire un traitement similaire pour d’autres transformations, d’autres symétries. Notre approche sera utilitaire, en ce sens qu’elle cherche à donner au lecteur les outils dont il a besoin pour comprendre ce jargon particulier, sans avoir à se taper toutes les démonstrations mathématiques. Ce texte est destiné à des physicien(ne)s et chimistes quantiques, et non à des mathématiciens. Finies donc ici les transformations générales qu’on retrouve dans la définition originale de ce qu’est un tenseur et restreignons-nous aux transformations de rotations (surtout en 3D pour fin d’exemple) et regardons d’abord les composantes cartésiennes des quantités (quelques exemples descriptifs seront en 2-D pour alléger l’algèbre). Si ces composantes dépendent des coordonnées, alors nous n’avons pas à nous limiter aux coordonnées cartésiennes pour cette dépendance, mais nous continuons à considérer les composantes cartésiennes des tenseurs par simplicité, par exempleV x r,J,j ( ) où les coordonnées sphériques sont ici r = r,J,j ( ). Le présent tutoriel n’est pas une présentation savante où toutes les démonstrations sont ficelées. Il a pour but d’initier en illustrant des avenues et les démonstrations trop lourdes ont été 3 laissées de côté. Certains exemples sont inspirés du livre de de Shalit et Talmi qui est surement out of print, les annexes de Mécanique quantique de Messiah peuvent être très utiles et on retrouve les harmoniques sphériques un peu partout, en particulier sur la toile (Mécanique quantique de Messiah, Electrodynamics de Jackson, toile…). Le but ici est une introduction opérationnelle et, je l’espère, didactique et opérationnelle. 2. Description de la rotation On peut décrire une rotation des axes de notre référentiel d’un angle quelconque p/r à un axe quelconque comme une suite de trois rotations p/r à des axes bien identifiés pour des valeurs d’angle appelés angles d’Euler. Ici nos coordonnées (cartésiennes, c’est plus simple) initiales et fixes sont xi = x,y,z i = 1,2,3 { } et les coordonnées finales, après la transformation, seront x ¢ i = ¢ x , ¢ y , ¢ z ¢ i =1,2,3 { }. Il y a plusieurs choix possibles (6 indépendants) des angles d’Euler. La plus fréquente est la suivante : La 1ère rotation d’Euler est d’un angle y autour de l’axe 3 (ou Oz), générant des axes 1 et 2. La 2e rotation d’un angle q se fait autour de l’axe 1 (ou Ox’), générant des axes 2 et 3. La troisième rotation est d’un angle f autour de l’axe 3, générant des axes 1 et 2. Le système final est donc composé des axes 1, 2 et 3 qui définissent les directions ¢ x , ¢ y , ¢ z ( ). ( Notez que les angles q et f qui apparaissent sont ici des angles d’Euler (de rotation entre référentiels) et ne doivent pas être confondus avec les angles du système de coordonnées sphériques pour lesquels nous utiliserons au besoin les symboles J et j lorsqu’il y a danger de confusion. Voir la figure http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png. Un peu de trigonométrie nous permet d’écrire que les nouvelles coordonnées générées par ces trois rotations sont données par une équation de transformation linéaire des anciennes qui est exprimable sous forme matricielle ¢ x = RxÞ x ¢ i = A i ¢ i xi où la notation R est une convention habituelle pour la matrice de transformation de rotation, alors que la deuxième partie utilise le formalisme utilisé dans notre tutoriel sur les tenseurs. 4 Nous pouvons expliciter l’opération R sous forme de matrice A i i ' é ë ù û dans l’explicitation x1' x2 ' x3' é ë ê ê ê ù û ú ú ú = R x1 x2 x3 é ë ê ê ê ù û ú ú ú = cosf cosy - cosq sinfsiny ( ) -cosfsiny - cosq sinf cosy ( ) sinq sinf ( ) sinf cosy + cosq cosfsiny ( ) -sinfsiny + cosq cosf cosy ( ) -sinq cosf ( ) sinq siny ( ) sinq cosy ( ) cosq ( ) é ë ê ê ê ù û ú ú ú x1 x2 x3 é ë ê ê ê ù û ú ú ú Les éléments de la matrice de transformation ou de Jacobi ne dépendent pas des coordonnées, seulement des paramètres (angles) de la transformation, cette transformation est donc linéaire dans les coordonnées et comme les coordonnées sont les composantes du rayon vecteur, le rayon vecteur est ici un vrai vecteur, un tenseur du 1er ordre (ce n’était pas vrai pour des transformations générales de coordonnées). Il s’ensuit ainsi qu’une quantité de composantes cartésiennes xixj par exemple est une composante d’un tenseur cartésien du 2e ordre, etc. et nous allons exploiter ici ce fait. 3. Les regroupements irréductibles Ce qui définit un tenseur ordinaire ou cartésien est le fait que ses composantes se transforment linéairement entre elles sous transformation générale (pas nécessairement linéaire). En D dimensions, un tenseur cartésien d’ordre N a DN composantes. Si on se limite à un nombre restreint de transformations, le nombre de composantes sera, en général, réduit à un plus petit nombre, jusqu’à un certain nombre minimum qu’on ne peut plus réduire, d’où le nom d’irréductible. Le fait de se limiter à un nombre restreint de transformations amène des simplifications et permet des regroupements des composantes des tenseurs en des ensembles plus petits (que DN) et leur permet de se transformer à l’intérieur de ces ensembles plus petits lors d’une transformation donnée. Physiquement, cette limitation permet de se concentrer sur les symétries qui laissent un système physique invariant sous certaines transformations et d’étudier les conséquences de ces symétries et permet de mettre en exergue certaines propriétés physiques qui résultent de l’invariance du système sous ces transformations. Les éléments de ces regroupements seront souvent le résultat de combinaisons linéaires des composantes du tenseur initial. Dans un exemple, nous construirons un tenseur cartésien d’ordre 2 en 3D, qui aura donc 9 composantes, mais en se limitant à des transformations uniquement de rotation, nous identifierons un regroupement d’un élément/composante qui reste invariant, donc un scalaire ; nous identifierons trois éléments/composantes qui se transforment linéairement entre eux, que nous nommerons un vecteur, ou tenseur d’ordre un, et les cinq éléments/composantes restant, uploads/Sante/ tenseurs-irred.pdf