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Promotion 2007 Année 2 Enseignement diversifié 1 PHY431 Principes variationnels

Promotion 2007 Année 2 Enseignement diversifié 1 PHY431 Principes variationnels et Mécanique analytique Édition 2008 Jean-Louis Basdevant, Christoph Kopper 1 Table des matières Préface 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 Avant-propos 5 1 L’esthétique et la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 La métaphysique et la science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Les nombres, la musique et la physique quantique . . . . . . . . . 7 4 La philosophie des lumières et le principe du meilleur . . . . . . . 11 5 Le principe de Fermat et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . 12 6 Les principes variationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7 La période moderne, de Lagrange à Einstein et à Feynman . . . 16 1 Principes variationnels 25 1 Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1 Réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Rayons courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 Mirages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Principe de Maupertuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Principe de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Mécanique analytique et calcul variationnel 37 1 Le calcul variationnel d’Euler et Lagrange . . . . . . . . . . . . . 38 2 Le lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Invariances et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1 Moments conjugués, impulsions généralisées . . . . . . . . 42 3.2 Changement de coordonnées, variables cycliques. . . . . . 43 3.3 Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . . 43 3.4 Impulsion et translations dans l’espace . . . . . . . . . . . 44 3.5 Moment cinétique et rotations . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 Symétries dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1 Rayons courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Forme d’une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Lois de Kirchhoﬀ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.4 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.5 Bulles de savon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Théorie lagrangienne de l’électromagnétisme 57 1 Lagrangien d’une particule relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.1 Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.2 Impulsion et énergie d’une particule libre . . . . . . . . . 60 1.3 Particule chargée dans un champ électromagnétique . . . 60 2 Théorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2 2.1 Corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 Equations d’Euler-Lagrange généralisées . . . . . . . . . . 67 2.3 Champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4 Formalisme canonique de Hamilton 73 1 Equations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2 Crochets de Poisson ; Espace des phases . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1 Evolution temporelle, constantes du mouvement . . . . . 77 2.2 Transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.4 Mécanique analytique et mécanique quantique . . . . . . 83 3 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1 Poincaré et le chaos dans le système solaire . . . . . . . . 85 3.2 L’eﬀet aile de papillon ; l’attracteur de Lorenz . . . . . . . 85 4 L’action et l’équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . 89 4.1 L’action comme fonction des coordonnées et du temps . . 89 4.2 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Limite géométrique de l’optique ondulatoire. . . . . . . . 94 4.4 Approximation semi-classique en mécanique quantique. . 97 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Solution des exercices 106 Bibliographie 125 Index 126 3 Préface au Cours 2008 Les principes variationnels et la mécanique analytique sont enseignés à l’Ecole Polytechnique depuis la réforme X 2000 dans le cadre du cours PHY 431. Parmi les neuf blocs de ce cours trois blocs ont été dédiés à ce sujet. Jean-Louis Basde- vant, qui est le fondateur de cet enseignement à l’Ecole, les a enseignés trois fois de suite. Il a élaboré un cours original dont la dernière version écrite a paru aux éditions Vuibert [1]. Les éditions précédentes sont disponibles à la bibliothèque de l’Ecole. Ce polycopié est à quelques réaménagements près un extrait du cours de Jean-Louis Basdevant, qui a mis à ma disposition les sources de son manuscrit. Les réaménagements ont été eﬀectués dans le but de rapprocher le polycopié encore plus du cours enseigné. Par conséquent nous nous limitons dans ce texte essentiellement aux sujets qui font partie du programme, c’est à dire, les ori- gines des principes variationnels et quelques exemples typiques et classiques, la mécanique analytique de uploads/Sante/ variationetmecanal.pdf