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Pl chap i copie pdf PROGRAMME LINEAIRE FORMES CANONIQUE ET STANDARD I Exemples a Problème de production Une usine fabrique produits A et B à l ? aide de matières premières M P I A B Qté Disponible M P II M P III Pro ?t unitaire Le problème consiste à déte

PROGRAMME LINEAIRE FORMES CANONIQUE ET STANDARD I Exemples a Problème de production Une usine fabrique produits A et B à l ? aide de matières premières M P I A B Qté Disponible M P II M P III Pro ?t unitaire Le problème consiste à déterminer les quantités à produire en A et B de sorte que le pro ?t total soit maximum Formulation mathématique Maximiser la quantité réel Z X X sous les contraintes X X ? I X X ? II Xi ? X ? III Résolution Graphique X I B C III D D II A E La solution est au point D X X X et Z Cb Problème de transport Une entreprise possède usines a b et c sur le territoire tunisien Elle reçoit de la marchandise en deux ports I et II Q a Tonnes Q b Tonnes Q c Tonnes Q I Tonnes Q II Tonnes Tableau des coûts de transport unitaire Usine a Usine b Usine c Port I Port II Le problème consiste à trouver un plan de transport minimisant le coût total de transport Formulation mathématique Minimiser la quantité réel Z X a X b X c X a X b X C X a X b X c ? X a X b X c ? X a X a ? Xi ? X b X b ? X c X c ? Résolution II Notations a Soit I un ensemble I représente le cardinal de I b Soit A une matrice ayant m lignes et n colonnes On note A m n et Aij représente l ? élément de l ? ième ligne et la jème colonne c Si A mn et B nq alors C AB mq et Cij ? Aik Bkj d Soit X un vecteur de Rn et J ? ? n XJ désigne le J -vecteur dont les éléments sont Xj j ? J e Soit C un vecteur ligne et X ? Rn CX ? Cj Xj et CJXJ ? Cj Xj f A m n J ? ? n I ? ? m AJ m J AJXJ ? Aj Xj AI I n ? ? YIAI ? Yi Ai AI J I J g La transposée de A est notée tA Ch X ? Rn on note X ? Xj ? j ? n i Um est la matrice unité ayant m lignes III Programme linéaire Forme canonique et standard Dé ?nition Soit D ? Rn Tout point de D est appelé solution réalisable Soit la fonction f D R et le problème Trouver x ? D qui rend maximum f x Toute solution du problème est appelée solution optimale Exemples - D - et f x - x donc x - et f x - D - ?? et f x - x D ? - D - ? ?? ? et f x - x D est non vide mais f est non bornée - D - ?? ?