131 Séquence 5 – MA01 > Lois numériques Lois de Bernoulli © Cned – Académie en
131 Séquence 5 – MA01 > Lois numériques Lois de Bernoulli © Cned – Académie en ligne 133 Sommaire séquence 5 – MA01 Lois numériques Schéma de Bernoulli - Loi binomiale Exercices d’apprentissage A A A B A C Chapitre 1 > Cours ............................................................................................................................................................................... 135 Chapitre 3 > Exercices d’entraînement ....................................................................................................... 155 Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement .................................................................... 158 Chapitre 2 > Synthèse .................................................................................................................................................................. 153 © Cned – Académie en ligne 135 Séquence 5 – MA01 Cours Lois numériques A Étude de 3 exemples Somme de deux dés Énoncé On va simuler sur un tableur (Excel) 50 lancers de deux dés cubiques, non pipés et numérotés de 1 à 6. À chaque lancer on associe la somme des points inscrits sur les faces supérieures de chacun des deux dés. Désignons cette somme par X. Quelles sont les valeurs prises par X ? Donner, d’après les résultats donnés par le tableur, les effectifs correspondant aux 11 valeurs pri- ses par X. Quelles sont les fréquences de chacune des valeurs de X ? (dans la suite on assimilera ces fréquences à des probabilités). lancer dé 1 dé 2 somme issue effectif fréquence 1 3 5 8 2 1 0,02 2 3 5 8 3 2 0,04 3 2 3 5 4 6 0,12 4 3 5 8 5 6 0,12 5 6 1 7 6 7 0,14 6 4 4 8 7 9 0,18 7 4 6 10 8 7 0,14 8 2 2 4 9 7 0,14 9 3 1 4 10 3 0,06 10 2 5 7 11 1 0,02 11 4 1 5 12 1 0,02 12 2 5 7 13 3 1 4 Total 50 1 14 3 6 9 15 1 5 6 16 6 6 12 17 1 5 6 18 5 1 6 19 6 1 7 20 2 6 8 21 3 1 4 22 3 3 6 23 1 5 6 24 4 5 9 25 2 4 6 26 6 1 7 27 1 1 2 28 2 2 4 29 4 3 7 30 3 4 7 31 3 3 6 32 5 6 11 33 1 3 4 34 2 3 5 35 6 3 9 36 4 3 7 37 2 1 3 38 5 5 10 39 4 1 5 40 1 4 5 41 5 4 9 42 1 2 3 43 2 5 7 44 4 5 9 45 3 2 5 46 5 4 9 47 5 3 8 48 5 5 10 49 3 5 8 50 6 3 9 Exemple © Cned – Académie en ligne Séquence 5 – MA01 136 Reproduire et compléter le tableau suivant : Calculer la somme de toutes les sommes obtenues lors des 50 lancers. Quelle est, en moyenne, la somme obtenue lors d’un lancer de deux dés ? Comment pourrait-on encore calculer cette moyenne ? La moyenne ainsi calculée s’appelle l’espérance mathématique de X et se note . Reproduire et compléter le tableau suivant : Calculer le nombre, noté , défini par : . Le nombre est la variance de X. Solution La somme des points inscrits sur les deux dés est un nombre entier compris entre 2 et 12 (2 et 12 sont compris). Les valeurs prises par X sont 2, 3, 4, ..., 11, 12. Le tableur nous donne, pour chaque valeur de X, les effectifs et les fréquences. On a donc : En assimilant les fréquences aux probabilités, on obtient le tableau suivant : Le total des sommes obtenues lors des 50 lancers est égal à : . Pour trouver la moyenne de la somme obtenue lors d’un lancer, on divise ce total par 50. On calcule . La somme obtenue lors d’un lancer est, en moyenne, égale à 6,78. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,02 0,02 0,04 0,24 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 144 0,02 0,02 0,08 2,88 valeur de X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 effectif 1 2 6 6 7 9 7 7 3 1 1 fréquence 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 0,04 0,12 0,48 0,60 0,84 1,26 1,12 1,26 0,60 0,22 0,24 xi pi p X xi = ( ) = pi ∑ = pixi pixi ∑ = E X ( ) xi xi 2 pi pixi 2 pixi 2 ∑ = V X ( ) V X ( ) pi xi ( )2 ∑ E X ( ) [ ]2 – = V X ( ) Total 50 = Somme 1 = xi pi p X xi = ( ) = pi ∑ 1 = pixi pixi ∑ 6 78 , = 1 2 × ( ) 2 3 × ( ) 6 4 × ( ) 6 5 × ( ) 7 6 × ( ) 9 7 × ( ) 7 8 × ( ) 7 9 × ( ) 3 10 × ( ) + + + + + + + + 1 11 × ( ) 1 12 × ( ) + 339 = 339 50 - - - - - - - - 6 78 , = Définition Définition © Cned – Académie en ligne 137 Séquence 5 – MA01 On peut aussi écrire : . . . Le tableau complété est le suivant : La variance est définie par : . D’où . La variance de X est égale à 4,851 6. Prix de l’abonnement Énoncé Une salle de spectacle propose, pour la saison, des abonnements pour 4, 5 ou 6 spectacles. Dans la population des abonnés, la répartition est la suivante : 43 % ont choisi l’abonnement 4 spectacles ; 34 % ont choisi l’abonnement 5 spectacles ; le reste a choisi l’abonnement 6 spectacles. L’abonnement pour 4 spectacles coûte 60 euros, celui pour 5 spectacles coûte 70 euros et celui pour 6 spectacles coûte 80 euros. On interroge un abonné au hasard et on désigne par X la somme (en euros) dépensée par l’abonné interrogé. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X (c’est-à-dire les pro- babilités de chaque valeur ). On suppose maintenant qu’il y a 500 abonnés pour la saison 2000-2001. Calculer la somme que la directrice de la salle de spectacle reçoit, en moyenne, pour un abonnement. Proposer deux manières pour effectuer ce calcul. Calculer la variance de X. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 0,02 0,04 0,12 0,12 0,14 0,18 0,14 0,14 0,06 0,02 0,02 0,08 0,36 1,92 3 5,04 8,82 8,96 11,34 6 2,42 2,88 60 70 80 1 2 × ( ) 2 3 × ( ) 6 4 × ( ) ... 1 11 × ( ) 1 12 × ( ) + + + + + 50 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 02 , 2 × ( ) 0 04 , 3 × ( ) 0 12 , 4 × ( ) ... + + + = 0 02 , 11 × ( ) 0 02 , 12 × ( ) + + pixi ∑ = 1 2 × ( ) 2 3 × ( ) 6 4 × ( ) ... 1 11 × ( ) 1 12 × ( ) + + + + + 50 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - uploads/Sports/ es-maths-cned-sequence-05-es-maths-cned-sequence-3-sur-10-lois-numeriques-lois-de-bernoulli.pdf
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- Publié le Jui 08, 2022
- Catégorie Sports
- Langue French
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