Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

; Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9 juin 2021 < Candidats libres Suje

; Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 9 juin 2021 < Candidats libres Sujet 1 ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On considère la fonction déﬁnie sur R par f (x) = xe−2x. On note f ′′ la dérivée seconde de la fonction f . Quel que soit le réel x, f ′′(x) est égal à : a. (1−2x)e−2x b. 4(x −1)e−2x c. 4e−2x d. (x +2)e−2x f (x) = xe−2x donc f ′(x) = e−2x + x ×(−2)e−2x = (1−2x)e−2x et donc f ′′(x) = −2e−2x +(1−2x)×(−2)e−2x = (−2−2+4x)e−2x = 4(x −1)e−2x Réponse b. 2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est : a. 1 728 b. 1 320 c. 220 d. 33 Ã 12 3 ! = 12! 3!(12−3)! = 12×11×10 3×2×1 = 220 Réponse c. 3. On donne ci-dessous la représentation graphique de f ′ fonction dérivée d’une fonction f déﬁnie sur [0; 7]. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 −1 −2 −3 −4 1 Le tableau de variation de f sur l’intervalle [0; 7] est : Baccalauréat spécialité - Corrigé A. P. M. E. P. a. b. x 0 3,25 7 f (x) x 0 2 5 7 f (x) c. d. x 0 2 5 7 f (x) x 0 2 7 f (x) f ′ est négative ou nulle sur [0 , 2] donc la fonction f est décroissante sur [0 , 2]. f ′ est positive ou nulle sur [2 , 5] donc la fonction f est croissante sur [2 , 5]. f ′ est négative ou nulle sur [5 , 7] donc la fonction f est décroissante sur [5 , 7]. Réponse b. 4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux dé- fauts notés A et B. Une étude statistique montre que 2,8 % des puces ont le défaut A, 2,2 % des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4 % des puces n’ont aucun des deux défauts. La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est : a. 0,05 b. 0,004 c. 0,046 d. On ne peut pas le savoir On appelle A l’événement « la puce a le défaut A » et B l’événement « la puce a le défaut B ». D’après le texte, on a : P(A) = 0,028 et P(B) = 0,022. On cherche la probabilité qu’une puce ait les deux défauts, c’est-à-dire P(A ∩B). On sait que 95,4 % des puces n’ont aucun des deux défauts donc il y a 100− 95,4 = 4,6 % des puces qui ont au moins un des deux défauts, donc P(A ∪ B) = 0,046. Or P(A ∪B) = P(A)+P(B)−P(A ∩B) donc P(A ∩B) = P(A)+P(B)−P(A ∪B) = 0,028+0,022−0,046 = 0,004 Réponse b. 5. On se donne une fonction f , supposée dérivable sur R, et on note f ′ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous le tableau de variation de f : x −∞ −1 +∞ 0 f (x) −∞ −∞ Centres étrangers candidats libres 2 9 juin 2021 Baccalauréat spécialité - Corrigé A. P. M. E. P. D’après ce tableau de variation : a. f ′ est positive sur R. b. f ′ est positive sur ]−∞; −1]. c. f ′ est négative sur R. d. f ′ est positive sur [−1 ; +∞[. La fonction f est croissante sur ]−∞; −1] donc f ′ est positive sur ]−∞; −1]. Réponse b. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à 10−3. D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française. Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS- Sofres) Partie A On interroge une personne au hasard et on note : — R l’évènement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ». — J l’évènement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ». 1. On représente la situation à l’aide de cet arbre pondéré : R 0,17 J 0,32 J 1−0,32 = 0,68 R 1−0,17 = 0,83 J J 2. P(R ∩J) = 0,17×0,32 = 0,0544 3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la popu- lation française, donc P(J) = 0,11. La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est P ³ R ∩J ´ . D’après la formule des probabilités totales : P(J) = P(R ∩J)+P ³ R ∩J ´ donc P ³ R ∩J ´ = P(J)−P(R ∩J) = 0,11−0,0544 = 0,0556 soit 0,056 à 10−3 près. 4. PR(J) = P ³ R ∩J ´ P ³ R ´ = 0,056 0,83 ≈0,0675 La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est donc d’environ 6,75%. Centres étrangers candidats libres 3 9 juin 2021 Baccalauréat spécialité - Corrigé A. P. M. E. P. Partie B Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun. La population française est sufﬁsamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées. 1. • On interroge une personne au hasard et il n’y a que deux possibilités : elle uti- lise régulièrement les transports en commun, avec une probabilité p = 0,17, ou pas, avec une probabilité de 1−p = 0,83. • On réalise n = 50 fois ce questionnement de façon identique. Donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de personnes utilisant réguliè- rement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,17. 2. P(X = 5) = Ã 50 5 ! ×0,175 ×(1−0,17)50−5 ≈0,069 Il y a donc une probabilité de 0,069 que, sur 50 personnes interrogées, exactement 5 prennent régulièrement les transports en commun. 3. Le recenseur indique qu’il y a plus de 95 % de chance pour que, parmi les 50 per- sonnes interrogées, moins de 13 d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun. Autrement dit, le recenseur afﬁrme que P(X < 13) ⩾0,95. Or P(X < 13) = P(X ⩽12) ≈0,929 < 0,95 donc cette afﬁrmation est fausse. 4. Le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées est E(X ) = np = 50×0,17 = 8,5. EXERCICE 3 5 points Commun à tous les candidats En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail aﬁn de s’inscrire dans une démarche écoresponsable. Elle propose alors à ses 5 000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise. En mai 2020, seuls 200 d’entre eux ont choisi le télétravail. Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le té- létravail. On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (an). Le terme an désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le n-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi a0 = 200. Partie A 1. a1 = a0 × 85 100 +450 = 200× 85 100 +450 = 620 2. Prendre les 85 % du nombre de collaborateurs en télétravail revient à multiplier par 0,85; puis on ajoute 450 donc, pour tout entier naturel n, on a : an+1 = 0,85an+450. 3. On considère la suite (vn) déﬁnie pour tout entier naturel n par : vn = an −3000; on en déduit que an = vn +3000. Centres étrangers candidats libres 4 9 juin 2021 Baccalauréat spécialité - Corrigé A. P. M. E. P. a. • vn+1 = un+1 −3000 = 0,85un +450−3000 = 0,85(vn +3000) −2550 = 0,85vn +2550−2550 = 0,85vn • v0 = u0 −3000 = 200−3000 = −2800 Donc la suite (vn) est géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme v0 = −2800. b. On en déduit que, pour tout n, on a vn = v0 × qn = −2800×0,85n. c. Or un = vn+3000 donc, pour tout entier naturel n, an = −2800×0,85n+3000. 4. Le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise est le nombre entier n tel que an > 2500; on résout cette inéquation : an > 2500 ⇐ ⇒−2800×0,85n +3000 > 2500 ⇐ ⇒500 > 2800×0,85n ⇐ ⇒500 2800 > 0,85n ⇐ ⇒ln µ 500 2800 ¶ uploads/Sports/ corrige-centres-etrangers-1-spe-11-06-2021-fh.pdf