Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Master 2 de Math´ ematiques - Processus al´ eatoires Examen du 14 d´ ecembre

1 Master 2 de Math´ ematiques - Processus al´ eatoires Examen du 14 d´ ecembre 2009 Dur´ ee: 2 heures Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction. Les documents et les calculatrices sont autoris´ es. Les points sont donn´ es ` a titre indicatif. Pour obtenir 20 points, il est demand´ e de r´ esoudre les exercices 1, 2 et 3, et au choix, soit le probl` eme I, soit le probl` eme II. Exercice 1 (4 points) Un serveur informatique envoie des messages selon un processus ponctuel de Poisson. En moyenne, il envoie un message toutes les 30 secondes. 1. Quelle est la probabilit´ e que le serveur n’envoie aucun message au cours des 2 premi` eres minutes de sa mise en service? 2. A quel moment esp´ erez-vous le second message (quel est le temps moyen de l’envoi du second message)? 3. Quelle est la probabilit´ e que le serveur n’ait pas envoy´ e de message durant la premi` ere minute, sachant qu’il a envoy´ e 3 messages au cours des 3 premi` eres minutes? 4. Quelle est la probabilit´ e qu’il y ait moins de 3 messages au cours des 2 premi` eres minutes, sachant qu’il y en a eu au moins 1 au cours de la premi` ere minute? Exercice 2 (4 points) Deux joueurs A et B s’aﬀrontent dans une partie de tennis. Chaque point jou´ e est gagn´ e par le joueur A avec une probabilit´ e de 3/5, sinon il est gagn´ e par B. On suppose les points ind´ ependants. Initialement, les deux joueurs sont ` a ´ egalit´ e. Pour gagner la partie, un joueur doit obtenir une avance de deux points sur son opposant. 1. Mod´ eliser le jeu par une chaˆ ıne de Markov absorbante ` a 5 ´ etats: Egalit´ e (deuce), Avantage A, Avantage B, A gagne, et B gagne. Donner la matrice de transition de cette chaˆ ıne. 2. Montrer que la matrice fondamentale de la chaˆ ıne est donn´ ee par N = 1 13   25 15 10 10 19 4 15 9 19  . 3. Calculer la probabilit´ e que A gagne, si les joueurs sont initialement ` a ´ egalit´ e. 4. Calculer la dur´ ee moyenne du jeu si les joueurs sont initialement ` a ´ egalit´ e. 2 Exercice 3 (4 points) On consid` ere la chaˆ ıne de Markov suivante : 1 2 3 4 1/4 1 1/2 1/4 1/2 1 1/2 1. Donner la matrice de transition P de la chaˆ ıne. 2. La chaˆ ıne est-elle irr´ eductible? 3. La chaˆ ıne est-elle r´ eguli` ere? 4. D´ eterminer la distribution stationnaire de la chaˆ ıne. 5. La chaˆ ıne est-elle r´ eversible? Probl` eme I (8 points) On consid` ere la chaˆ ıne de Markov suivante sur X = Z ∗: 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1 1 1 1 . . . . . . 1. La chaˆ ıne est-elle irr´ eductible? 2. L’´ etat 1 est-il r´ ecurrent? 3. L’´ etat 1 est-il r´ ecurrent positif? 4. L’´ etat 1 est-il ap´ eriodique? 5. Soit π la distribution stationnaire de la chaˆ ıne. Calculer π1. 6. Calculer πi pour tout i ∈X. 3 Probl` eme II (8 points) On consid` ere une marche al´ eatoire sur N , absorb´ ee en 0: 1 0 1 2 3 1−p 1−p 1−p 1−p p p p . . . On note h(i) = Pi{τ0 < ∞}. 1. D´ eterminer h(0). 2. Montrer que h(i) = (1 −p)h(i −1) + ph(i + 1) (1) pour tout i ⩾1. 3. On consid` ere le cas p = 1/2. En se basant sur les propri´ et´ es des fonctions harmoniques d´ eriv´ ees en TD, d´ eterminer h(i) pour tout i. Indication: h(i) est une probabilit´ e. 4. Nous consid´ erons ` a partir de maintenant le cas g´ en´ eral 0 < p < 1. Montrer que tout h solution de (1) satisfait encore le principe du maximum: pour tout ensemble A = {a, a + 1, . . . , b −1, b} ⊂N , h atteint son maximum au bord ∂A = {a, b} de A. 5. Montrer que deux solutions de l’´ equation (1), co¨ ıncidant sur le bord de A, sont ´ egales partout dans A. 6. Montrer que h(i) = αi satisait l’´ equation (1) pour certaines valeurs de α qu’on d´ eterminera. 7. En d´ eduire l’unique solution pour h lorsque p < 1/2. Trouver deux solutions possibles lorsque p > 1/2. uploads/Sports/ exam-procal-dec09.pdf