EXERCICES DE COLLES Exercices donnés en colle (Lycée Chateaubriand, MP*, 15/16)
EXERCICES DE COLLES Exercices donnés en colle (Lycée Chateaubriand, MP*, 15/16) Je ne revendique en aucun cas la paternité de ces exercices : je n’ai fait que les sélectionner. Pour toute demande de correction détaillée, ne pas hésiter à me contacter par e-mail. Table des matières 1 Espaces dénombrables 1 2 Familles sommables 1 3 Probabilités 2 4 Suites et séries numériques 5 5 Suites et séries de fonctions 6 6 Séries entières 7 7 Fonctions de la variable réelle à valeurs vectorielles 8 8 Intégration 8 9 Groupes, anneaux et algèbres 9 10 Réduction 12 11 Convexité 15 12 Espaces vectoriels normés 15 13 Espaces préhilbertiens ou euclidiens 16 14 Équations différentielles linéaires 17 15 Calcul différentiel 18 16 Remarques, indications et réponses succinctes 20 1 Espaces dénombrables Exercice 1.1 On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe x solution d’une équation de la forme anxn + . . . + a0 = 0 avec n ∈N et a0, . . . , an ∈Z. L’ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable ? 2 Familles sommables Exercice 2.1 Pour quelles valeurs de α ∈R+∗la famille 1 (i + j)α (i,j)∈N∗2 est-elle sommable ? Florian LEMONNIER 1 Lycée Chateaubriand – MP* – 15/16 EXERCICES DE COLLES Exercice 2.2 Pour quelles valeurs de α ∈R+∗la famille 1 iα + jα (i,j)∈N∗2 est-elle sommable ? Exercice 2.3 On dit que la famille de nombres complexes (ui)i∈I est de carré sommable lorsque la famille u2 i i∈I est sommable. On note L2(I) l’ensemble des familles de carré sommable. Démontrer ou réfuter (à l’aide d’un contre-exemple) les assertions suivantes : 1. Si (ui)i∈I est sommable, alors elle est de carré sommable. 2. Si (ui)i∈I est de carré sommable, alors elle est sommable. 3. Si (ui)i∈I et (vi)i∈I sont de carré sommable, alors (uivi)i∈I est sommable. 4. Si (ui)i∈I et (vi)i∈I sont de carré sommable, alors uivj (i,j)∈I2 est sommable. 5. L2(I) est un espace vectoriel. Exercice 2.4 La famille 2p + 1 p + q + 2 − p p + q + 1 − p + 1 p + q + 3 (p,q)∈(N∗)2 est-elle sommable ? Exercice 2.5 Montrer que ∞ ∑ n=0 x2n+1 1 −x2n+1 = ∞ ∑ n=1 xn 1 −x2n pour tout x ∈C tel que |x| < 1. 3 Probabilités Exercice 3.1 Dans une population donnée, on suppose que la probabilité pk pour qu’une famille ait k enfants est définie par : p0 = p1 = a, et pour k ≥2, pk = (1 −2a)21−k, où a ∈]0, 1[. On suppose de plus que la probabilité d’avoir un garçon ou une fille lors d’une naissance est la même. 1. Quelle est la probabilité pour qu’une famille ayant deux garçons ait deux enfants seulement ? 2. Quelle est la probabilité pour qu’une famille ait deux filles sachant qu’elle a deux garçons ? On pourra utiliser l’identité suivante, sans la démontrer : ∀x ∈[0, 1[, ∞ ∑ n=2 n(n −1)xn−2 = 2 (1 −x)3 . Exercice 3.2 Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Montrer que si A1, A2, . . . , An sont n événements quel- conques de F, alors P (A1 ∩A2 ∩. . . ∩An) ≥1 −n + n ∑ i=1 P (Ai). Exercice 3.3 Deux joueurs, Roland et Nadine, lancent successivement deux dés équilibrés. Roland joue le premier et le jeu s’arrête dès que Roland obtient une somme égale à 6 ou que Nadine obtient une somme égale à 7. Lequel d’entre eux à le plus de chances de l’emporter ? Exercice 3.4 Soit Ω= [[1, n]], où n est un entier supérieur ou égal à 2. On considère l’espace probabilisé (Ω, P(Ω), P), où P est la probabilité uniforme. Si d|n, on note Ad = {kd | k ∈Ωet kd ∈Ω}. 1. Calculer P (Ad). 2. Soit p1 < p2 < . . . < pr la suite des diviseurs premiers de n, rangés par ordre croissant. (a) Montrer que Api 1≤i≤r est une famille d’événements indépendants. (b) En déduire une expression de ϕ(n), cardinal de l’ensemble des entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n (indicatrice d’Euler). Exercice 3.5 Soit (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble E et N une variable aléatoire à valeurs dans N, toutes définies sur un même espace probabilisable (Ω, F). On définit une fonction Y par ∀ω ∈Ω, Y(ω) = XN(ω)(ω). Justifier que Y est une variable aléatoire discrète. Florian LEMONNIER 2 Lycée Chateaubriand – MP* – 15/16 EXERCICES DE COLLES Exercice 3.6 Soient X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 et que la loi de Y sachant (X = n) est binomiale de paramètres n et p ∈]0, 1[. Quelle est la loi de Y ? Exercice 3.7 Un joueur dispose de N dés équilibrés. Il lance une première fois ceux-ci et on note X1 le nombre de “six” obtenu. Il met de côté les dés correspondant et relance les autres dés (s’il en reste). On note X2 le nombre de “six” obtenus et on répète l’expérience définissant ainsi une suite de variables aléatoires X1, X2, . . . La variable Sn = X1 + X2 + . . . + Xn correspond alors au nombre de “six” obtenu après n lancers. 1. Vérifier que Sn suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Montrer qu’il est presque sûr qu’il existe un rang n pour lequel Sn = N. 3. On définit alors la variable aléatoire T = min {n > 1|Sn = N} ∪{+∞}. Déterminer la loi de T. 4. Vérifier que la variable T admet une espérance et donner une formule exprimant celle-ci. Calculer cette espérance pour N = 1 et N = 2. Exercice 3.8 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes. On suppose que X et Y suivent des lois de Poisson de paramètres λ et µ. Quelle est la loi suivie par X + Y ? Exercice 3.9 On suppose qu’à la roulette d’un Casino, on obtient la couleur noire avec la probabilité 1 2, la couleur rouge sinon. Un joueur fortuné joue selon le protocole suivant : – il mise initialement 1 € sur la couleur noire ; – s’il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise ; – s’il perd, il double sa mise et rejoue. 1. On suppose la fortune du joueur infinie. Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement. Déterminer l’espérance de gain du joueur. 2. On suppose toujours la fortune du joueur infinie. Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il décide de tripler sa mise lorsqu’il rejoue ? 3. Le joueur n’est en fait pas si fortuné qu’il le prétend : il ne possède que 2n −1 € ce qui l’autorise à ne pouvoir jouer que n parties. Que devient son espérance de gain ? Exercice 3.10 Soient a et b deux réels de l’intervalle ]0, 1[. On choisit “au hasard” deux nombres entiers X et Y (dans N). Les choix sont indépendants et la probabilité d’obtenir X = n (respectivement Y = p) est (1 −a)an (resp. (1 −b)bp). On note B l’événement X ≤Y. 1. Calculer P((X = n) ∩B). 2. Calculer P(X = n|B). Exercice 3.11 On lance une infinité de fois une pièce ayant une probabilité p ∈]0, 1[ de donner pile, les lancers étant mutuellement indépendants. Si ω ∈{P, F}N, on décompose ω en sous-suites de résultats consécutifs identiques, appelés séries, le résultat changeant d’une série à la suivante et on note L1(ω), L2(ω), . . . les longueurs de ces séries. Par exemple, si ω = FFFPFPPPPFP . . ., on a L1(ω) = 3, L2(ω) = 1, L3(ω) = 1, L4(ω) = 4 et L5(ω) = 1. Les fonctions L1, L2, ...sont bien définies sur le sous-ensemble Ω′ de Ω= {P, F}N, constitué des suites comportant une infinité de P et une infinité de F. 1. Prouver que Ω′ est un événement presque sûr. Dans la suite de l’exercice, on se place dans l’espace probabilisé constitué de Ω′, des événements inclus dans Ω′ et de la restriction de P à ces événements. On admet que L1, L2, ...sont des variables aléatoires sur cet espace probabilisé. 2. Déterminer la loi de L1 et son espérance. 3. Déterminer la loi conjointe de (L1, L2). En déduire la loi de L2 et son espérance. 4. L1 et L2 sont-elles indépendantes ? Florian LEMONNIER 3 Lycée Chateaubriand – MP* – 15/16 EXERCICES DE COLLES 5. Montrer que L3 a même loi que L1, et que L1 et L3 ne sont pas indépendantes si p ̸= 1 2. Exercice 3.12 Soient X une variable aléatoire discrète définie sur Ωet f une application définie sur X(Ω). À quelle condition les variables aléatoires X et f (X) sont-elles indépendantes ? Exercice 3.13 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. 1. Montrer que uploads/Sports/ colles.pdf
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Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 09, 2021
- Catégorie Sports
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