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BAC II- BLANC A/S : 2020-2021 Classe : Tle D EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 4

BAC II- BLANC A/S : 2020-2021 Classe : Tle D EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 4H Coéf : 3 Exercice 1( 5pts) On dispose de deux Urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au touché. U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n ≥ 1). U2 contient deux boules blanches et une boule noires. On tire une boule au hasard de l’urne U1 et on la remet dans U2 puis on retire une boule de l’urne U2 puis on lui remet dans U1. L’ensemble de ces opérations constitue une épreuve. 1. Construire un arbre de probabilité 2. On considère l’évènement A : « Après l’épreuve, les urnes se retournent dans la configuration de départ ». a) Démontrer que la probabilité de A est P (A )=3 4( n+2 n+3). b) Déterminer la limite de P(A) lorsque n tend vers +∞. 3. On considère l’évènement B : « après l’épreuve l’urne U2 contient une boule blanche ». Calculer p(B). A. Un joueur mise 20F et effectue une épreuve B. on compte les boules blanches de l’urne U2.  Si U2 contient une boule blanche, le joueur reçoit 1F,  Si U2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit nF.  Si U2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien a) Montrer que le joueur n’a aucun intérêt à jouer tend que n ne dépasse pas 10. b) On suppose que n˃10, on désigne par x la variable aléatoire qui prend pour valeur les gains algébrique du joueur. Déterminer la loi de probabilité de x et Calculer son espérance mathématique. Exercice 2 ( 4 pts) 1. Résoudre dans R l’équation différentielle : (E0): y +2 y'+y= 0,5 pt 2. Vérifier que la fonction g est définie sur R par : g (x )=a x 2+bx+c est solution de l’équation différentielle (E1): y +2 y'+y=-x²-x+2 pour les valeurs a, b, c que l’on déterminera. 1 pt 3) Montrer que f est la solution de (E1) équivaut à h=f −g solution de (E0).En déduire les solutions de(E1). 4) Trouver une solution U de(E1) dont la courbe représentative passe par le point A(0;1) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur−2. Problème : A- Soit λ un réel, on associe la fonction numérique f λ définie par : f λ (x )=ln (x 2−2λx+2) et on désigne par (c λ¿ sa courbe représentatives dans un repère orthonormé (o , ⃗ i ⃗ j) 1- Préciser suivant les valeurs de λ, l’ensemble de définition deDλ. Déterminer le sens de variation def λ. On précisera les limites aux bornes des intervaleles constituant (D¿¿ λ.)¿ 2- Montrer que chaque courbe (c λ) admet un axe de symétrie B- Soit (C1) la courbe de f 1 et (∆) la droite d’équation y=x Dans cette partie on s’intéressera à l’intersection de (C1)et (∆) 1- Représenter (C 1)et ¿) 2- a) Soit φ (x )=f 1(x)−x b) Etudier les variations de φ puis dresser son tableau de variation. c)Montrer que φ est une bijection de R versR. Déduis- en que la courbe ( C 1¿ coupe( ∆¿ en un seul point d’abscisse α et que 0.3<α<0.4 C- On pose On pose J=[0,3;0,4] 1- montrer que x→x ²−2 x+2 est décroissant sur J ; en déduire que f 1(J )⊂J 2- Prouver que∀x∈J ,∨f ' (x )∨≤0,95 puis monter que ∀x∈J ,|f (x )−α|≤0,95∨x−α∨¿ On définit la suite ¿ Prouver que ∀n∈N ,Un∈J ,|U n+1 –α|≤0,95|U n−α|et que |U n+1−α|≤0,1¿. Déduire que U n converge. D- On désigne par A l’aire de la partie du plan comprise entre les droites x=0; x=1 2 L’axe des abscisses et la courbe(C 1) 1- Montrer que la tangente (T ) à la courbe (C1)enx= 1 4 a pour équation y=−24 25 x+ 6 25 +ln 25 16 2- Soit les points E d’abscisse 0 et f d’abscisse 1 2 de la courbe. Monter que la droite (EF) a pour équation y=2(ln 5 8) x+ln2 3- On admet que sur [0, 1 2](C1) est aussi dessus de T et en dessous de(EF). Montrer que : a) ∫ 0 1 2 (−¿ 24 25 x+ 6 25+ln 25 16 )dx ≤A≤∫ 0 1 2 (2(ln 5 6 ¿)x+ln ⁡2)dx¿¿ b) Déduire que ln 5 4 ≤A≤1 4 ln 5 2 puis donner la valeur de Aà5.10 −3près. uploads/Sports/ bac-ii.pdf