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REVUE FRANÇAISE D’AUTOMATIQUE, D’INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE. R

REVUE FRANÇAISE D’AUTOMATIQUE, D’INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE. RECHERCHE OPÉRATIONNELLE L. PIBOULEAU P. FLOQUET S. DOMENECH Optimisation de procédés chimiques par une méthode de gradient réduit partie I. Présentation de l’algorithme Revue française d’automatique, d’informatique et de recherche opérationnelle. Recherche opérationnelle, tome 19, no 3 (1985), p. 247-274. <http://www.numdam.org/item?id=RO_1985__19_3_247_0> © AFCET, 1985, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Revue française d’automatique, d’infor- matique et de recherche opérationnelle. Recherche opérationnelle » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/ legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁ- chier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ R.A.I.R.O. Recherche opérationnelle/Opérations Research (vol 19, n° 3, août 1985, p. 247 à 274) OPTIMISATION DE PROCÉDÉS CHIMIQUES PAR UNE MÉTHODE DE GRADIENT RÉDUIT PARTIE I. PRÉSENTATION DE L'ALGORITHME (*) par L. PIBOULEAU, P. FLOQUET et S. DOMENECH (*) Résumé. — Un algorithme de type gradient réduit permettant de traiter les deux principales classes de problèmes continus rencontrés en Génie Chimique — roptimisation des opérations unitaires et la conception optimale de procédés complexes — est présenté dans cet article. Un nombre élevé de variables bornées, un critère généralement implicite, ainsi qu'un ensemble creux de contraintes linéaires ou non, constituent les principales caractéristiques des problèmes répertoriés dans ces deux classes. La définition d'une partition des variables et rutilisation de procédures numériquement stables d'algèbre linéaire, ont permis de développer un algorithme d'optimisation adapté au traitement de problèmes à grande échelle, pouvant comporter plusieurs centaines de variables, soumis à des contraintes linéaires. Des techniques numériques de linéarisation, associées à cet algorithme, rendent aussi possible la résolution de problèmes à contraintes non linéaires. Des exemples (numériques et de Génie Chimique) d'illustration de la méthode présentée, seront développés dam un second article. Mots clés : Problèmes à grande échelle; contraintes linéaires et non linéaires; optimisation; gradient réduit. Abstract. — A reduced gradient algorithm, designed for solving the two basic classes of continuous optimization problems in the field ofchemical engineering—unit opérations optimization and CAD of large-scale processes—is presented in this paper, A great number ofbounded variables, an implicit criterion, and a set of linear or nonlinear constraints giving rise to sparse jacobian matrix, form the main features of these two classes of problems. In the case of large-scale linearly constrained problems, involving several hundreds of variables, the algorithm implementation is based both on a partition of the variables and on the use of numerically stable matrix factorizations. Nonlinear constrained problems can also be the means of numerical linearization procedures. In a second article, the algorithm is illustrated by some test problems, involving numerical and chemical engineering examples. Keywords: Large-scale problems; Linear and nonlinear constraints; Optimization; Reduced Gradient. (*) Reçu mars 1984. (*) Institut du Génie Chimique, U.A. C.N.R.S. n° 192, Chemin de la Loge, 31078 Toulouse Cedex, France. R.A.I.R.O. Recherche opérationnelle/Opérations Research, 0399-0559/85/0324728/$ 4.80 © AFCET-Gauthier-Villars. 2 4 8 L. PIBOULEAU, P. FLOQUET, S. DOMENECH NOTATIONS Lettres majuscules B, matrice de base (mxm); C, matrice des coefficients des contraintes linéaires (mxri); Cu matrice des coefficients des nt variables intervenant uniquement dans les contraintes linéaires (m1 x n^; C2, matrice des coefficients des contraintes linéaires liant les n2 variables qui interviennent aussi dans les contraintes non linéaires (mi xn2); G, hessien de la fonction objectif (n x n); H, matrice orthogonale de Hessenberg supérieure (s x 5); ƒ, matrice identité; J, jacobien des contraintes non linéaires (m2 xn2); L, facteur triangulaire inférieur de la base (m x m); JV, matrice des coefficients des contraintes linéaires pour les variables hors base (m xn — s — m); P, produit de matrices de Givens (s x 5); R, facteur triangulaire supérieur du hessien réduit (5x5); 5, matrice des coefficients des contraintes linéaires pour les variables superbase (m x s); U, facteur triangulaire supérieur de la base (m x m); W, matrice égale au produit B'1 SQnxs); -rn Z = \ I L matrice de projection (n x 5) pour le hessien. Lettres Minuscules fc5 second membre des contraintes linéaires (vecteur de Rm); bu second membre des m1 contraintes linéaires (vecteur de R™1); c(x), expression générale des contraintes (vecteur de Rm); ƒ fonction objectif à minimiser (fonction de Rn dans R); g, gradient de ƒ (vecteur de Rn); h, gradient réduit projeté (vecteur de Rs); l, borne inférieure pour les variables (vecteur de Rn); R.A.I.R.O. Recherche opérationnelle/Opérations Research PRÉSENTATION D'UNE MÉTHODE DE GRADIENT RÉDUIT 249 m, nombre de contraintes; ml5 nombre de contraintes linéaires; m2, nombre de contraintes non linéaires; n, nombre de variables d e / ( n ^ m ) ; no nombre de variables non contraintes (nc^n — m); nu nombre de variables intervenant uniquement dans les contraintes linéaires; n25 nombre de variables intervenant dans les contraintes linéaires et non linéaires (nx + n2 = ri); p , direction de descente (vecteur de Rn); p B , direction de descente pour les variables de base (vecteur de Rm); p N , direction de descente pour les variables hors base (vecteur nul de Rn-m~s); pSy direction de descente pour les variables superbase (vecteur de Rs); q, contraintes non linéaires (vecteur de R™2); q, linéarisation des contraintes non linéaires (vecteur de R™2); s, nombre de variables superbase; M, borne supérieure pour les variables (vecteur de Rn); x, variables de/(vecteur de Rn); xB, variables de base (vecteur de Rm); xN, variables hors base (vecteur de Rn~m~s); xs, variables superbase (vecteur de R*). Lettres grecques amax, pas maximal dans la direction de descente; a*, pas optimal dans la direction de descente; Pl5 approximation d'un majorant de la norme de (RTR)~x;. P2? approximation d'un majorant de la norme de — WT1% P3î coefficient positif strictement inférieur à 1; 8, incréments sur les variables (vecteur de Rn); 6C, tolérance sur les contraintes non linéaires; s/? tolérance sur la variation de la fonction objectif/; eg9 tolérance sur le gradient réduit projeté; Ep, tolérance sur les pivots de la matrice de base; sx, tolérance sur la variation des variables superbase; vol. 19, n° 3, août 1985 2 5 0 L. PIBOULEAU, P. FLOQUET, S. DOMENECH ea, tolérance sur la précision de la recherche monodimensionnelle; sx, tolérance sur les paramètres de Lagrange; X9 paramètres de Lagrange associés aux contraintes linéaires et/ou non linéaires (vecteur de Rm); kl9 paramètres de Lagrange associés aux variables hors base (vecteur de Rn~m~s); p, coefficient de pénalisation. INTRODUCTION Dans le cadre de la chimie industrielle, l'optimisation des procédés, la commande optimale d'installations existantes et la conception optimale d'uni- tés sont les bases nécessaires à la mise en œuvre d'une politique efficace dans la recherche d'économies d'énergie et/ou de matières premières. C'est pourquoi il nous a paru important de développer une procédure d'optimisation spéciale- ment conçue pour des applications dans le domaine du Génie Chimique» où l'on peut distinguer deux grandes classes de problèmes : — l'optimisation des opérations unitaires (distillation, réaction chimique, extraction...) à structure figée, fonctionnant en régime permanent ou transi- toire; — l'optimisation et/ou la conception optimale assistée par ordinateur (CAO) de procédés complexes, comportant plusieurs opérations unitaires, fonctionnant en régime permanent. La première catégorie de problèmes a déjà fait l'objet le nombreux travaux [3-4, 7-9, 24, 46], dans lesquels des méthodes d'optimisation très différentes sont utilisées. Parallèlement, divers efforts ont été entrepris dans le domaine de la CAO de procédés chimiques, en particulier pour la génération de séquences de réactions chimiques [21], et de distillation [18, 38, 40-41], ainsi que pour la détermination de réseaux d'échangeurs de chaleur [26-28]. Bien qu'en général des hypothèses assez restrictives soient utilisées dans les travaux précités leur nombre sans cesse croissant montre l'importance de ce type de recherche. Il est à noter que ces hypothèses ont souvent pour but de transformer le problème d'optimisation en un problème à structure discrète dont l'espace de recherche est fini. Nous avons restreint la présente étude au cas de problèmes d'optimisation monocritère, à variables continues. Dans les deux classes de problèmes, le critère considéré, qui peut être de nature économique (coûts des investisse- R.À,I.R,O. Recherche opérationnelle/Opérations Research PRÉSENTATION D'UNE MÉTHODE DE GRADIENT RÉDUIT 251 ments), énergétique (coûts d'exploitation), technico-économique, ou technique (capacité de production, durée des opérations, sécurité de fonctionnement), n'est pas donné sous une forme explicite. De plus, il comporte en général un nombre élevé de variables indépendantes, dont certaines sont physiquement bornées. Les équations d'équilibre et de bilans (massiques et/ou thermiques) conduisent à des problèmes dont le jacobien de la matrice des contraintes est creux. La première partie de ce travail a trait au choix d'une méthode d'optimisa- tion permettant de traiter le problème à grande échelle suivant : ƒ Min ƒ (x), xeR", (1) (P) } c(x) = 0, c est une application de Rn dans Rm (m^rc) (2) [ /, ueR\ (3) où le jacobien des contraintes (2) est généralement creux. La méthode retenue doit conduire à la définition d'un algorithme suffisam- ment souple pour pouvoir être appliqué à des problèmes de Génie Chimique de nature très différente. Dans la uploads/Voyage/ 1985190302471.pdf