Laboratoire de Métallurgie Physique Département des Matériaux EPFL Cours Millie

Laboratoire de Métallurgie Physique Département des Matériaux EPFL Cours Millieux Continus 3ème Semestre M. Rappaz M. Felberbaum M. Salgado Série No 5  17.10.07 Tenseur des contraintes II 1. Contraintes Principales et Cercle de Mohr Soit dans un repère orthonormé (e1, e2, e3). On considère le champ de contraintes homgène dé ni par (en MPa) σ =    10 0 0 0 5 −15 0 −15 5    (1) 1. Déterminer les contraintes principales (σI, σII, σIII) dans l'ordre dé- croissant ainsi que les directions principales associées (nPI, nPII, nPIII) 2. Véri er que les trois invariants du tenseur restent inchangés 3. Déterminer la matrice de passage [A] du repère (e1, e2, e3) au repère propre (eI, eII, eIII) telle que r′ = [A]r 4. Montrer que [A].σ.[A]T est eectivement diagonal. 5. Pour une direction n quelconque, déterminer les composantes normale, tn, et tangentielle, tτ, de la densité de force t. Dessiner le cercle de Mohr. 6. Déterminer l'ellipse des contraintes dans les trois plans (eI, eII), (eII, eIII) et (eI, eIII). 7. Déterminer les parties hydrostatique et déviatorique du tenseur σ dans (e1, e2, e3). 2. Condition d'équilibre Un état de contraintes inhomogène dé ni sur le cube unitaire x ∈[0, 1], y ∈[0, 1] et z ∈[0, 1] (en m) est caractérisé par le tenseur suivant : σ =    1 3y −3z 3y xy σxyz −3z σyz σzz    (2) σ est en MPa, si x, y et z en m. 1. Trouver les deux composantes manquantes σyz(r) et σzz(r) sur la base des indications suivantes : A. Le tenseur satisfait la condition d'équilibre div σ = 0 en tout point. B. La trace du tenseur est nulle en tout point. C. Le long de l'axe x, le tenseur σyz = x2). 2. Calculez les forces globales (en N) exercées sur chacune des faces de ce cube. Véri ez que la somme de ces forces est nulle. Pourquoi a-t-on cela ? 1 www.almohandiss.com www.almohandiss.com Laboratoire de Métallurgie Physique Département des Matériaux EPFL Cours Millieux Continus 3ème Semestre J.-M Drezet, J. Valloton, K. Shahim & M. Salgado Corrigé No 5  17.10.07 Tenseur des contraintes II 1. Contraintes Principales et Cercle de Mohr Pour trouver les contraintes principales il su t de résoudre le déterminant de la matrice ⃗ σ =    10 −σp 5 √ 3 0 5 √ 3 0 −σp 0 0 0 10 −σp    (1) DET = 10 −σp 5 √ 3 0 5 √ 3 0 −σp 0 0 0 10 −σp = (σ2 p−10σp)(10−σp)−(10−σp)(5 √ 3)2 Les valeurs des contraintes principales sont σp1 = 15, σpII = −5 et σpIII = 10. De toute évidence, par la forme du tenseur des contraintes, le valeur σpIII correspond au valeur propre aligné sur l'axe z. En eet, la rotation du tenseur pour retrouver les valeurs propres se fait autour de l'axe z, et c'est pourquoi on ne les met pas dans un ordre décroissant. Les directions principales associées à ces vecteurs s'obtiennent en appli- quant l'équation (4.27) du polycopier. Ainsi, on trouve que pour σpI, npI → ( √ 3/2, 1/2, 0) ; pour σpII, npII →(1/2, . − √ 3/2, 0) ; et pour σpIII, npIII → (0, 0, 1). On véri e que les invariants du tenseur restent inchangés : ΣI(σ) = 10 + 0 + 10 = 20 = ΣI(σp) = 15 −5 + 10 = 20 ΣII(σ) = (10)(0) + (10)(10) + (0)(10) −02 −(5 √ 3)2 −02 = 25 ΣII(σp) = (15)(−5) + (15)(10) + (−5)(10) −0 = 25 ΣIII(σ) = Det(σ) = 10 5 √ 3 0 5 √ 3 0 0 0 0 10 = −750 ΣIII(σp) = Det(σp) = 15 0 0 0 −5 0 0 0 10 = −750 Désormais il nous faut trouver la matrice de rotation pour passer de σ à σp. Pour ce faire, l'angle de rotation autour de z doit être calculé. Puisque on est sur ça, on va déjà s'assurer que les vecteurs propres sont orthonormales avec la relation suivante : |n1||n2| cos θ = ⃗ n1 · ⃗ n2 (3) 1 www.almohandiss.com www.almohandiss.com Laboratoire de Métallurgie Physique Département des Matériaux EPFL Cours Millieux Continus 3ème Semestre J.-M Drezet, J. Valloton, K. Shahim & M. Salgado Ayant démontré que c'est le cas, on applique la même équation aux vecteurs n1 et npI pour trouver θ = 30 degrés. Noter que pour la transformation de repère ⃗ r′ = [A]⃗ r, [A] n'est rien d'autre que le tenseur qui décrit l'orientation des vecteurs propres. Pour une direction ⃗ n quelconque ou ⃗ n = n(x, y, z), on peut trouver la com- posante normale et tangentielle de la densité de force en opérant ainsi : tn = ⃗ t · ⃗ n = ⃗ n · ⃗ n · ⃗ n = 20x2 −5y2 + 10z2 + 15xy + 5yz + 30xz; tτ = √t −tn NOTE : On a intérêt à avoir une normale sur laquelle on aimerait calculer ces composants avant de passer au développement de tτ dans les équations précédents. Le cercle de Mohr et les ellipses des contraintes dans les trois plans sont dessinés ci-dessous : Finalement, la partie hydrostatique d'un tenseur (σM) est dé nie par 1/3Tr(σ)I alors que la partie déviatorique du tenseur est dé nie comme σD = σ −σM : σM =    25/3 0 0 0 25/3 0 0 0 25/3    et σD =    5/3 5 √ 3 0 5 √ 3 25/3 0 0 0 5/3    2 www.almohandiss.com www.almohandiss.com Laboratoire de simulation des matériaux Cours Milieux Continus Département des matériaux 3ème semestre EPFL M.Rappaz/M. Felberbaum, M. Salgado Exercice 1 : Equilibre mécanique sur un cube unitaire  = 1 3y 3z 3y xy  yz 3z  yz  zz       On sait que div() = 0, le flux est donc nul ! div() = 0 x +  yz z  yz y +  zz z          = r 0 On sait que la trace du tenseur est nulle, on a donc zz = -1 - xy On trouve alors que yz = -z x + A(x, y) (d’après la 2ème équation ci-dessus) La 3ème équation donne la constante A(x, y) qui ne doit pas être fonction de y (sinon la dérivée de yz par rapport à y est non nulle, ce qui est impossible vu que la dérivée de zz par rapport à z est nulle) ; en conséquence, la constante A (x, y) = x2 vu que sur l’axe x, yz = x2 On a alors le tenseur suivant :  = 1 3y 3z 3y xy x x  z ( ) 3z x x  z ( ) (1 xy)       Pour calculer les forces globales sur l’ensemble du cube unitaire, il faut appliquer la relation t =   · n et intégrer sur chaque surface du cube entre 0 et 1. On a donc 6 intégrales à faire. Normale // à Ox : 1 3y 3z 3y 0 0 3z 0 1        1 0 0        dydz 0 1  0 1  + 1 3y 3z 3y y 1 z ( ) 3z 1 1 z ( ) (11y)        1 0 0        dydz 0 1  0 1  = = 1 3y 3z        dydz 0 1  0 1  + 1 3y 3z        dydz 0 1  0 1  = 0 www.almohandiss.com www.almohandiss.com Laboratoire de simulation des matériaux Cours Milieux Continus Département des matériaux 3ème semestre EPFL M.Rappaz/M. Felberbaum, M. Salgado Normale // à Oy : 1 0 3z 0 0 x x  z ( ) 3z x x  z ( ) 1        0 1 0        dxdz 0 1  0 1  + 1 3 3z 3 x x x  z ( ) 3z x x  z ( ) (1 x)        0 1 0        dxdz 0 1  0 1  = = 0 0 x x  z ( )        dxdz 0 1  0 1  + 3 x x x  z ( )        dxdz 0 1  0 1  Normale // à Oz : 1 3y 0 3y xy x 2 0 x 2 (1 xy)        0 uploads/Voyage/ 3-exercices-corriges-mmc.pdf

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• Publié le Jan 29, 2022
• Catégorie Travel / Voayage
• Langue French
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