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1 2 x 30° y Exercice 1 On considère un pli unidirectionnel soumis à l’état de d

1 2 x 30° y Exercice 1 On considère un pli unidirectionnel soumis à l’état de déformation suivant : 2 6 3 2 2 1 10 . 2 10 . 5 10           Les propriétés des plis sont : Matériau : verre/époxyde Exx=40 GPa Eyy=10 GPa xy=0,32 Gxy=4,5 GPa X+=1000 MPa X-=800 MPa Y+=50 MPa Y-=200 MPa S=70 MPa 1. Calculer l’état de contrainte dans la base (1,2) 2. Calculer l’état de contrainte dans la base (x,y) 3. Calculer le coefficient de sécurité au sens du critère de la contrainte maximale 4. Calculer le coefficient de sécurité au sens du critère quadratique généralisé. Solution 1. On commence par calculer la matrice de rigidité du pli dans la base d’orthotropie                                    xy yx xy yy yx xy xx yx yx xy yy xy yx xy xx ) y , x ( G 0 0 0 1 E 1 E 0 1 E 1 E Q Avec les données ci-dessus, cela donne : GPa 5 , 4 0 0 0 26 , 10 28 , 3 0 28 , 3 05 , 41 Q ) y , x (            Il est maintenant nécessaire de calculer les expressions de ce tenseur dans la base (1,2). 1 2 x y  1 2 x y  Pour cela, il faut d’abord calculer les deux matrices de changement de base, en rappelant que : avec m = cos et n = sin                                                                                                                  Qss Q Q Qxx P Qss Q Q Qxx ) mn n m ( 2 mn n m n m mn ) n m mn ( 2 n m mn mn n m ) n m ( n m 2 n m n m n m 4 n m n m n m n m 4 n m 2 m n n m 4 n m 2 n m Q Q Q Q Q Q xy yy xy yy 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 26 16 66 12 22 11 30° :                                        4 3 8 3 16 3 3 16 3 4 3 8 3 16 3 16 3 3 4 1 8 3 16 3 16 3 4 3 8 5 16 3 16 3 4 3 8 3 16 9 16 1 4 3 8 3 16 1 16 9 P30 On obtient alors pour le tenseur de rigidité : GPa 51 , 9 77 , 3 56 , 9 77 , 3 9 , 12 30 , 8 56 , 9 30 , 8 3 , 28 Q ) 2 , 1 (                On obtient ensuite les contraintes en multipliant ce tenseur par celui de l’état de déformation :  MPa 267 94 433 10 20 5 10 51 , 9 77 , 3 56 , 9 77 , 3 9 , 12 30 , 8 56 , 9 30 , 8 3 , 28 3 6 2 1 ) 2 , 1 (                                                                  2. Pour obtenir l’expression du tenseur des contraintes dans la base (x,y), il suffit d’appliquer les formules de changement de bases des tenseurs d’ordre 2 : 1 2 x y  1 2 x y                                            6 2 1 2 2 2 2 2 2 s y x ) n m ( mn mn mn 2 m n mn 2 n m Ici : MPa 5 , 13 53 580 2 1 4 3 4 3 2 3 4 3 4 1 2 3 4 1 4 3 6 2 1 s y x                                                                         3. Coefficients de sécurité au sens du critère de la contrainte maximale (les coefficients de sécurité sont l’inverse des facteurs de résistance définis en cours) : 18 , 5 5 , 13 70 R 77 , 3 53 200 R 72 , 1 580 1000 R s y x       Le coefficient de sécurité est le minimum de ces trois coefficients, c’est-à-dire Rx, et vaut 1,72. Ce coefficient étant supérieur à 1, la rupture n’a pas eu lieu au sens de ce critère. 4. Pour le critère quadratique généralisé, il faut d’abord calculer les coefficients du critère : 2 6 yy xx xy 1 2 y 1 4 x 2 4 2 ss 2 4 yy 2 6 xx MPa 10 . 6 , 5 F F 5 , 0 F MPa 10 . 5 , 1 Y 1 Y 1 F MPa 10 . 5 , 2 X 1 X 1 F MPa 10 . 04 , 2 S 1 F MPa 10 . 0 , 1 Y Y 1 F MPa 10 . 25 , 1 X X 1 F                                      On écrit ensuite le coefficient de sécurité:   réel rupture R    En introduisant dans le critère de rupture : 1 RF RF F R 2 F R F R F R y y x x y x xy 2 2 s ss 2 2 y yy 2 2 x xx 2              où les contraintes sont celles calculées au 4. On obtient alors une équation du second degré qui s’écrit : 0 1 R . 94 , 0 R . 08 , 1 2    Cette équation admet deux racines : 62 , 0 R 49 , 1 R 2 1    La racine positive est la valeur recherchée, l’autre correspond à celle obtenue avec un chargement de signe opposé (chargement proportionnel en négatif), qui intéresse peu le concepteur. Le coefficient est également supérieur à 1, ce qui indique que la rupture n’a pas non plus été atteinte au sens de ce critère. La racine négative inférieure a 1 en valeur absolue reflète la différence de résistance en traction et compression transverse. uploads/Voyage/ exercice-composite.pdf